Modélisation, analyse et simulation de systèmes complexes structurés en épidémiologie

Modeling, analysis and simulation of structured complex systems in epidemiology

• Auteur / Autrice : Robin Vaudry
• Direction : Clémentine Prieur, Didier Georges
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 24/10/2024
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 1995-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Jean Kuntzmann (Grenoble, Isère, France ; 2007-....)
• Jury : Président / Présidente : Amandine Véber
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Paolo Frasca, Joseph Winkin
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Amandine Véber, Alain Rapaport

Mots clés

Mots clés contrôlés

Systèmes complexes

Modèles mathématiques

Épidémiologie

Mots clés libres

Systèmes dynamiques complexes

Modèles compartimentaux en épidémiologie

Analyse des EDP

Structure en âge

Fonction à base radiale

Méthode de différence finie

Complex dynamical systems

Compartmental models in epidemiology

PDE Analysis

Age structure

Radial basis function

Finite difference method

Résumé

L'espèce humaine est l'espèce animale la plus parasitée par les maladies infectieuses. Le développement d'une épidémie est lourd de conséquences pour les populations: hausse de la mortalité, saturation des hôpitaux, répercussions économiques... L'épidémiologie des maladies infectieuses est la science qui étudie la fréquence et la répartition de ces maladies dans le temps et dans l'espace, leur impact sur les populations ainsi que les paramètres qui les déterminent. La récente pandémie de COVID-19, qui a touché le monde entre Décembre 2019 et Mai 2023, a renforcé la nécessité de créer des modèles mathématiques performants afin de limiter l'impact sanitaire de telles épidémies.L'objectif de cette thèse est de proposer un modèle réaliste de l'évolution de l'état sanitaire d'une population lors d'une épidémie. Nous construisons dans ce travail de recherche un modèle compartimental SEHIRVD structuré en âge de maladie et en âge d'immunité. Ce modèle prend en compte la perte d'immunité progressive des individus ainsi que la vaccination. Les équations qui régissent ce modèle sont un système d'équations aux dérivées partielles couplées avec des termes intégraux. Pour ce modèle, nous proposons un schéma numérique basé sur la méthode des Différences Finies supportées par des Fonctions à Base Radiale (RBF-FD) pour l'approximation des opérateurs en âge, et semi-implicite pour la discrétisation en temps. Les intégrales sont approchées par une méthode de Quasi-Monte Carlo. Nous établissons ensuite des propriétés théoriques de notre modèle SEHIRVD. Nous prouvons son caractère bien posé: le système d'équations admet une unique solution qui dépend continûment des paramètres et des conditions initiales du problème. Nous démontrons également que la taille de chaque compartiment du modèle reste positive au cours du temps et ne dépasse pas celle de la population totale. Nous présentons enfin des simulations numériques de notre modèle réalisées en langage Python. Ces simulations explorent l'impact des structures en âge sur l'évolution du système ainsi que l'effet de la vaccination.

Humans are the animal species most affected by infectious diseases. The development of an epidemic is fraught with consequences for populations: increased mortality, saturation of hospitals, economic repercussions... The epidemiology of infectious diseases is the science that studies the frequency and distribution of these diseases in time and space, their impact on populations and the parameters that determine them. The recent COVID-19 pandemic that affected the world between December 2019 and May 2023 has reinforced the need to create high-performance mathematical models to limit the health impact of such epidemics.The aim of this thesis is to propose a realistic model of the evolution of the health status of a population during an epidemic. In this research work, we are building a compartmental SEHIRVD model structured according to age of illness and age of immunity. This model takes into account the progressive loss of immunity of individuals, as well as vaccination. The equations governing this model are a system of coupled partial differential equations with integral terms. For this model, we propose a numerical scheme based on the Finite Difference method supported by Radial Basis Functions (RBF-FD) for age operator approximation, and semi-implicit for discretization in time. The integrals are approximated by a Quasi-Monte Carlo method. We then establish theoretical properties of our SEHIRVD model. We prove its well-posedness: the system of equations admits a unique solution that depends continuously on the parameters and initial conditions of the problem. We also demonstrate that the size of each compartment in the model remains positive over time, and does not exceed that of the total population. Finally, we present numerical simulations of our model performed in Python. These simulations explore the impact of age structures on the evolution of the system, as well as the effect of vaccination.