Variétés de dimension quatre admettant des fibrations
Auteur / Autrice : | Yibo Zhang |
Direction : | Louis Funar, Gregory McShane |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Mathématiques |
Date : | Soutenance le 05/04/2024 |
Etablissement(s) : | Université Grenoble Alpes |
Ecole(s) doctorale(s) : | École doctorale Mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 1995-....) |
Partenaire(s) de recherche : | Laboratoire : Institut Fourier (Grenoble) |
Jury : | Président / Présidente : Athanase Papadopoulos |
Examinateurs / Examinatrices : Delphine Moussard, Philippe Eyssidieux | |
Rapporteur / Rapporteuse : Stepan Orevkov, Juan Souto Clément |
Mots clés
Mots clés contrôlés
Mots clés libres
Résumé
Cette thèse présente des résultats de finitude et de rigidité pour les variétés de dimension 4 admettant des fibrations.Tout d'abord, nous étudions la fibration du tore sur la 2-sphère, à savoir une fibration dont la fibre générique est le tore. Le type des singularités est défini comme étant le multi-ensemble des classes de conjugaison des monodromies de fibres autour des fibres singulières. Nous montrons que, si deux fibrations de tore sur S^2 ont le même type des singularités, alors leurs monodromies globales sont Hurwitz-équivalentes après avoir effectué des sommes directes avec une certaine fibration de Lefschetz du tore. Cette fibration supplémentaire du tore de Lefschetz est universelle lorsque le type des singularités est ''simple''. Deuxièmement, nous étudions la fibration holomorphe, à savoir une variété complexe de dimension 2 se projetant sur une surface de Riemann de manière holomorphe. L’application classifiante d'une fibration holomorphe après suppression des fibres singulières, lorsqu'elle n'est pas isotriviale, est une carte holomorphe non constante F:Bightarrow mathcal{M}_h. Ici B est une surface hyperbolique de type (g,n), mathcal{M}_h est l'espace de modules des surfaces de Riemann fermées de genre h et l'image F(B) est appelée une courbe holomorphe dans mathcal{M}_h. Nous montrons que, lorsque tous les monodromies périphériques sont d'ordre infini, la carte holomorphe est une immersion quasi-isométrique dont les paramètres ne dépendent que de g, n, h et de la systole de B. Lorsque les monodromies périphériques satisfont également une condition supplémentaire, nous trouvons un relèvement qui plonge quasi-isométriquement un polygone fondamental de la surface hyperbolique B dans l'espace de Teichmüller. De plus, nous améliorons le théorème de finitude de Parshin-Arakelov, en démontrant qu'il n'existe qu'un nombre fini d'homomorphismes de monodromie induits par des courbes holomorphes de type (g,n) dans mathcal{M}_h où la systole est bornée loin de 0, à une équivalence près.