Reconstruction des variables vectorielles dans le cadre des méthodes volumes finis sur maillages non-structurés généraux

Vectorial variables reconstruction for finite-volumes methods on general unstructured meshes

• Auteur / Autrice : Arthur Tetelin
• Direction : Philippe Villedieu
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Dynamique des fluides
• Date : Soutenance le 14/06/2024
• Etablissement(s) : Toulouse, ISAE
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mécanique, énergétique, génie civil et procédés (Toulouse)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Équipe d'accueil doctoral Énergétique et dynamique des fluides (Toulouse, Haute-Garonne)
• Jury : Président / Présidente : Claire Chainais-Hillairet
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Philippe Villedieu, Jean-Pierre Croisille, Stéphane Clain, Pierre-Henri Maire
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jean-Pierre Croisille, Stéphane Clain
• DOI : 10.70675/2d0b400dz85fbz4658zaec7z0095e99294c4

Mots clés

Mots clés contrôlés

Analyse vectorielle

Grilles (analyse numérique)

Méthodes de volumes finis

Mots clés libres

Méthodes volumes finis cellule-Centrée

Maillages non-Structurés

Méthode MUSCL multipente

Invariance par rotation

Reconstruction vectorielle

Cell-Centered Finite-Volume Methods

Unstructured Meshes

Multislope MUSCL method

Frame Invariance

Vectorial Slope Limitation

Résumé

Les simulations numériques dans le domaine de l’énergétique peuvent présenter de forts gradients et des discontinuités, ainsi qu’une forte disparité d’échelles spatiales et temporelles. C’est typiquement le cas des simulations menées avec le code Cedre, développé par le département multi-physique pour l’énergétique de l’ONERA. Il est donc nécessaire de développer des méthodes numériques précises, robustes et performantes. Dans ce cadre, la reconstruction des variables aux faces des volumes de contrôle est l’un des éléments clé de la résolution des équations de conservation hyperboliques dans les approches volumes finis. Ces reconstructions permettent en effet d’améliorer la précision du calcul des flux numériques, ce qui a une influence majeure sur la précision globale du schéma. En outre, il est bien connu qu’une reconstruction linéaire ne suffit pas à assurer la stabilité du schéma dans le cas général, ce qui nécessite l’utilisation de reconstructions limitées. Si la reconstructions des variables scalaires a fait l’objet d’un grand nombre de travaux ces dernières décennies, très peu d’études se sont jusqu’à présent intéressées aux reconstructions des variables vectorielles. La plupart des approches des codes de calculs industriels comme Cedre consiste en effet à reconstruire chaque composante des vecteurs indépendamment des autres avec une approche scalaire. Néanmoins, une telle approche se révèle être dépendante du repère : la solution obtenue change en fonction du repère choisi, engendrant divers problèmes de précision ou de conservation sur des maillages présentant des frontières périodiques par rotation. L’objectif de cette thèse est donc double. Il vise dans un premier temps à étudier théoriquement la précision et la stabilité des reconstructions vectorielles, puis dans un second temps à développer une méthode de reconstruction vectorielle de type MUSCL multipente qui soit efficace, précise et robuste. Pour cela, nous introduisons les κ-schémas limités, qui permettent d’obtenir une reconstruction d’ordre 2 invariante par rotation, et facilement adaptable à n’importe quelle condition de monotonie choisie. Nous introduisons aussi la notion de reconstruction fictive afin d’obtenir une écriture du schéma mettant en évidence ses propriétés de stabilité. Nous en déduisons deux conditions de monotonie adaptées aux variables vectorielles, que nous éprouvons ensuite sur différents cas-tests numériques. Enfin, nous présentons une troisième approche, basée sur l’extension directe de la condition de monotonie du cas scalaire vers le cas vectoriel. Bien qu’aucune preuve de stabilité n’ait pu être écrite pour cette approche, elle présente tout de même le meilleur compromis entre stabilité d’une part, et précision et efficacité d’autre part.

Numerical simulations in the field of energetics often present sharp gradients or discontinuities, as well as strong disparity of spatial and temporal scales. This is typical of simulations runned with Cedre software, developed by ONERA’s Multi-physics department for energetics. All these features involve the development of accurate, robust and efficient numerical methods. In this framework, variable reconstruction is one of the key aspects of the resolution of hyperbolic conservation laws in finite volume methods. These reconstructions improve the accuracy of the numerical fluxes, which has a direct impact on the spatial accuracy of the scheme. Moreover, it is well known that a linear reconstruction is not sufficient to ensure the scheme stability. Thus, non-linear reconstructions are required. While scalar variables reconstructions have been intensively studied during the last decades, very few studies have been conducted on vectorial variable reconstructions. In industrial codes like Cedre, each component of vectorial variables is usually treated independently as a scalar variable. However, such an approach reveals to be frame-dependent : the solution is dependent on the frame, leading to conservation and accuracy problems on periodical meshes. This thesis therefore focuses on two aspects. Firstly, it aims to study theoretically the accuracy and stability of vectorial reconstructions, and secondly to develop a vectorial reconstruction method designed for the multislope MUSCL scheme, being efficient, accurate and robust. To do so, we introduce limited κ-schemes, allowing to obtain a second-order accurate frame-invariant reconstruction, easily adaptable to any monotone condition chosen. We also introduce fictitious reconstructions, allowing to get a formulation of the scheme highlighting its stability properties. We deduce from it two monotonicity definitions suitable for vectors, that we then run on different numerical test-cases. Lastly, we present a third approach, based on the direct extension of the scalar monotonicity condition to the vectorial case. Even if no stability proof has been written, this approach presents the best compromise between stability and accuracy.