Unicité et non-unicité pour l'équation de transport

Uniqueness and non-uniqueness for the transport equation

• Auteur / Autrice : Jules Pitcho
• Direction : Nikolay Tzvetkov
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 22/10/2024
• Etablissement(s) : Lyon, École normale supérieure
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale InfoMaths (Lyon ; 2009-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Unité de Mathématiques Pures et Appliquées (Lyon ; 1991-....)
• Jury : Président / Présidente : Yann Brenier
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Nikolay Tzvetkov, Yann Brenier, Stefano Bianchini, Frédéric Rousset, Nicolas Burq, Valeria Banica, Dragos Iftimie, Danela Oana Ivanovici
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Stefano Bianchini, Frédéric Rousset

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie du transport

Mots clés libres

Équation de transport

Non-unicité

Critère de sélection

Transport equation

Non-uniqueness

Selection criterion

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions l’équation de transport à coefficients peu réguliers ainsi que les trajectoires du champ de vecteurs associé. On construit d’abord par intégration convexe des champs de vecteurs à divergence nulle de régularité Sobolev admettant un nombre fini de trajectoires non uniques pour presque toute donnée initiale. Puis, on construit un ensemble dense de champs de vecteurs bornés pour lesquels deux régularisations distinctes construisent deux solutions distinctes. Ensuite, pour une classe de champs de vecteurs pour lesquels il y a non-unicité des solutions faibles bornées, on démontre un critère de sélection par régularisation par convolution. Finalement, on donne une contrepartie au niveau des trajectoires de ce critère de sélection et on montre que ce critère est statistique.

In this thesis, we study the transport equation with irregular coefficients as well as the trajectories of the associated vector field. We first construct by convex integration vector fields with zero divergence of Sobolev regularity admitting a finite number of non-unique trajectories for almost every initial datum. Then, we construct a dense set of bounded vector fields for which two distinct regularisations construct two distinct solutions. After, for a class of vector fields for which uniqueness of boundedweak solutions fails, we prove that regularisation by convolution is a selection criterion. Finally, we give a counterpart at the level of the trajectories of this criterion and we show that the selection is statistical.