Difficultés de Problèmes de Réseaux Structurés pour la Cryptographie Post-Quantique

Hardness of Structured Lattices Problems for Post-Quantum Cryptography

• Auteur / Autrice : Joël Felderhoff
• Direction : Bruno Salvy
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 26/11/2024
• Etablissement(s) : Lyon, École normale supérieure
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale InfoMaths (Lyon ; 2009-....)
• Partenaire(s) de recherche : Institut : Institut national de recherche en informatique et en automatique (France). Centre de recherche de l'université Grenoble Alpes (1992-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de l'informatique du parallélisme (Lyon ; 1988-....)
• Jury : Président / Présidente : Emmanuel Thomé
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Bruno Salvy, Emmanuel Thomé, Wouter Castryck, Katharina Boudgoust, Guillaume Hanrot, Elena Kirshanova, Damien Stehlé
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Emmanuel Thomé, Wouter Castryck

Mots clés

Mots clés contrôlés

Cryptographie post-quantique

Mots clés libres

Informatique

Cryptographie

Réseaux structurés

Réseaux Euclidiens

Réduction

Idéal

Computer Science

Cryptography

Structured lattices

Lattices

Reduction

Ideal

Résumé

La sécurité des protocoles cryptographiques repose sur la difficulté présumée de problèmes algorithmiques. Parmi ceux qui ont été identifiés jusque-là, les meilleurs problèmes pouvant servir de fondation à une cryptographie résistante aux ordinateurs quantiques sont issus des réseaux euclidiens. Les réseaux euclidiens sont une structure mathématique définie comme un ensemble de vecteurs de l’espace générés par les combinaisons entières d’un nombre fini de vecteurs réels linéairement indépendants (sa base). Un exemple typique de problème de sécurité relié est le Shortest Vector Problem (SVP). Étant donné une base d’un réseau euclidien en dimension n, trouver un vecteur court non nul. Pour des raisons d’efficacité, ces problèmes sont restreints à des réseaux issus de la théorie des nombres, dit structurés. Les hypothèses de sécurité relatives à ces réseaux particuliers étant différentes de celles des réseaux non structurés, il est nécessaire de les étudier spécifiquement, c’est l’objet de cette thèse. Nous avons étudié le cas des modules NTRU et uSVP en rang 2, prouvant que le problème SVP est équivalent sur ces deux familles de réseaux. Nous montrons également une réduction pire-cas vers cas-moyens pour les réseaux uSVP en rang 2. Ensuite nous avons démontré que résoudre SVP sur un idéal premier de petite norme n’était pas plus facile que de résoudre SVP sur n’importe quel idéal.

The security of cryptographic protocols is based on the presumed difficulty of algorithmic problems. Among those identified so far, some of the best problems to serve as a foundation for quantum-proof cryptography come from lattices. Lattices are a mathematical structure defined as a set of space vectors generated by integer combinations of a finite number of linearly independent real vectors (its basis). A typical example of a related security problem is the Shortest Vector Problem (SVP). Given a base of an n-dimensional lattice, find a non-zero short vector. For efficiency reasons, these problems are restricted to lattices arising from number theory, known as structured lattices. As the security assumptions for these particular lattices are different from those for unstructured lattices, it is necessary to study them specifically, which is the aim of this thesis.We have studied the case of NTRU and uSVP modules in rank 2, proving that the SVP problem is equivalent on these two families of lattices. We also show a worst-case to average-case reduction for rank-2 uSVP lattices. Then we show that solving SVP on a prime ideal of small norm is no easier than solving SVP on any ideal.