Analyse asymptotiques d'intégrales multiples : au-delà des beta-ensembles classiques

Asymptotic analysis of multiple integrals : beyond the classical beta-ensembles

• Auteur / Autrice : Charlie Dworaczek Guera
• Direction : Alice Guionnet, Karol K. Kozlowski
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 30/08/2024
• Etablissement(s) : Lyon, École normale supérieure
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale InfoMaths (Lyon ; 2009-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Unité de Mathématiques Pures et Appliquées (Lyon ; 1991-....)
• Jury : Président / Présidente : Mylène Maïda
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Alice Guionnet, Karol K. Kozlowski, Mylène Maïda, Thomas Leblé, Laure Dumaz, Tamara Grava, Maurice Duits
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Mylène Maïda, Gaultier Lambert

Mots clés

Mots clés contrôlés

Fluctuations (physique)

Physique mathématique

Systèmes intégrables

Matrices aléatoires

Intégrales multiples

Mots clés libres

Intégrales multiples

Analyse asymptotique

Matrices aléatoires

Modèle de Sinh-Gordon

Systèmes intégrables

Physique mathématique

Fluctuations

Systèmes de particules en interaction

Log-gaz

Opérateurs

Equations de Schwinger-Dyson

Mesures d’équilibres

Multiples integrals

Asymptotic analysis

Random matrices

Sinh-Gordon model

Integrable systems

Mathematical physics

Fluctuations

Interacting particles systems

Log-gaz

Operators

Schwinger-Dyson equations

Equilibrium measures

Résumé

Cette thèse vise à étendre les techniques mathématiques qui permettent d’extraire le comportement asymptotique de certaines intégrales multiples quand le nombre d’intégrales tend vers l’infini. Un cas très bien compris est celui de la fonction de partition des beta-ensembles classiques. Les techniques probabilistes de grandes déviations et d’analyse des équations de boucles forment l’arsenal classique pour son étude et permettent de comprendre son comportement asymptotique dans une large généralité. Des généralisations non-triviales de cette intégrale multiple sont étudiés dans ce manuscrit: le régime haute température des beta-ensembles et le modèle sinh. Dans ce premier modèle, la température proportionnelle au nombre de particules permet de rendre l’entropie du même ordre que le potentiel confinant et l’interaction à deux corps. Cela a de multiples conséquences: un support non-borné pour la mesure d’équilibre contrairement au régime classique des beta-ensembles et un opérateur master beaucoup plus délicat à gérer. Une étude fine de son comportement permet de démontrer un théorème central limite et le comportement asymptotique à toute du logarithme de sa fonction de partition. Ce premier résultat permet d’étudier certains aspects de systèmes physiques dits intégrables comme la chaîne de Toda et plus particulièrement sa limite hydrodynamique. Ce deuxième résultat permet enfin d’étendre l’application de la méthode des équations de boucle dans le cas où les particules ne se concentrent pas sur un compact. Finalement, un dernier modèle est étudié, le modèle sinh. L’étude de ce modèle est motivée par la méthode de séparation des variables quantique où ce genre d’intégrales apparaît. Il constitue une généralisation des beta-ensembles classiques où l’effet confinant est plus faible que l’interaction et où cette dernière est plus compliqué. La mesure d’équilibre y est étudié et permet d’obtenir une certaine vérification d’une conjecture de Lukyanov sur le modèle sinh-Gordon quantique en 1+1 dimensions et volume fini.

This thesis aims to extend mathematical techniques that extract the asymptotic behavior of certain multiple integrals as the number of integrals tends to infinity. A well-understood case is the partition function of classical beta-ensembles. Probabilistic techniques of large deviations and analysis of loop equations form the classical arsenal for its study and allow for a broad understanding of its asymptotic behavior. Non-trivial generalizations of this multiple integral are studied in this manuscript: the high-temperature regime of beta-ensembles and the sinh model. In the first model, the temperature proportional to the number of particles makes the entropy of the same order as the confining potential and the two-body interaction. This has multiple consequences: an unbounded support for the equilibrium measure contrary to the classical regime of beta-ensembles, and a much more delicate master operator to handle. A detailed study of its behavior allows for the demonstration of a central limit theorem and the asymptotic behavior of the logarithm of its partition function. This first result permits the study of certain aspects of so-called integrable physical systems like the Toda chain, and more specifically, its hydrodynamic limit. This second result finally extends the application of the method of loop equations to cases where particles do not concentrate on a compact set. Lastly, another model is studied, the sinh model. The study of this model is motivated by the quantum separation of variables method where such integrals appear. It constitutes a generalization of classical beta-ensembles where the confining effect is weaker than the interaction, and the latter is more complicated. The equilibrium measure is studied, leading to a certain verification of Lukyanov's conjecture on the quantum sinh-Gordon model in 1+1 dimensions and finite volume.