Twin-width : Caractérisations logiques et combinatoires

Twin-Width, logical and combinatorial characterisations

• Auteur / Autrice : Colin Geniet
• Direction : Stéphan Thomassé
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 05/07/2024
• Etablissement(s) : Lyon, École normale supérieure
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale en Informatique et Mathématiques de Lyon (Lyon ; 2009-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de l'informatique du parallélisme (Lyon ; 1988-....) - Modèles de calcul, Complexité, Combinatoire
• Jury : Président / Présidente : Mamadou Moustapha Kanté
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Stéphan Thomassé, Mamadou Moustapha Kanté, Victor Chepoi, Martin Grohe, Frédérique Bassino, Alantha Newman, Ioan Todinca
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Victor Chepoi, Martin Grohe

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie des groupes

Logique du premier ordre

Analyse combinatoire énumérative

Tournois (théorie des graphes)

Permutations (mathématiques)

Théorie des graphes

Mots clés libres

Théorie des graphes

Logique du premier ordre

Analyse combinatoire énumérative

Tournois (théorie des graphes)

Permutations (mathématiques)

Théorie des groupes

Graph theory

First-order logic

Enumerative combinatorics

Tournaments (graph theory)

Permutations (mathematics)

Group theory

Résumé

Un graphe est composé de sommets connectés par des arêtes : c’est une structure versatile, utilisée couramment pour représenter des réseaux de transports, de communication, ou d'individus. Cette versatilité a un prix : beaucoup de problèmes naturels — e.g. trouver un nombre maximum de sommets sans aucune connexion — sont difficiles. Plutôt qu’essayer de les résoudre en toute généralité, on peut imposer des contraintes sur les graphes pour faciliter la tâche : par exemple, se restreindre aux graphes planaires, i.e. pouvant être dessinés sur le plan sans croisement. C'est dans cet esprit que Bonnet, Kim, Thomassé et Watrigant ont introduit en 2020 la twin-width. Les graphes dont la twin-width est petite — par exemple, les graphes planaires — sont simples de multiples façons : notamment, ont peut efficacement y résoudre tout problème de logique du premier ordre, et il y en a peu, un nombre simplement exponentiel en le nombre de sommets. Ces propriétés remarquables sont elles vérifiées seulement quand twin-width est petite ? En général, c’est faux : on connaît des graphes de grande twin-width simples pour la logique du premier ordre, et cette thèse construit une classe avec peu de graphes mais grande twin-width. Mais la situation change lorsque l’on étend la twin-width à des structures autres que les graphes : dans les graphes ordonnés et les permutations, l’équivalence entre petite twin-width et ces conditions est connue, et l’on généralise cela aux tournois. Pour ces mêmes structures, on peut rapidement approximer la twin-width, un problème ouvert en général.

Graphs consist of vertices connected by edges. They are versatile structures, commonly used to represent networks of transportation, communication, or persons. This versatility comes at a cost: numerous natural algorithmic problems on graphs are hard to solve, for instance finding a largest set of pairwise disconnected vertices. Rather than trying to solve such problems in full generality, one may constrain the input graphs to simplify the problem: for instance, by considering only planar graphs, i.e. the ones drawn in the plane with no crossing edges.This work studies such a constraint: twin-width, introduced in 2020 by Bonnet, Kim, Thomassé, and Watrigant. Graphs with small twin-width—which for instance include planar graphs—are simple in many ways: they admit efficient algorithms for any problem expressed in first-order logic; and there are relatively few of them: only a single exponential number.Are these two properties exclusive to graphs of small twin-width? In general they are not: there are known graphs with large twin-width which are simple for first-order logic, and this work constructs a class with few graphs but large twin-width. This however changes when considering twin-width other than graphs: twin-width is known to be equivalent to the former two conditions in ordered graphs and permutations, and we extend this result to tournaments. These three kinds of structure also allow efficient approximation algorithms for twin-width, an open problem in general graphs.