Une version effective du théorème des nombres premiers de Wen Chao Lu

An effective version of Wen Chao Lu's prime number theorem

• Auteur / Autrice : Vincent Gozé
• Direction : Bruno Martin, Michel Balazard
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 17/12/2024
• Etablissement(s) : Littoral
• Ecole(s) doctorale(s) : Sciences, Technologie, Santé
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques pures et appliquées (Calais, Pas de Calais) - Laboratoire de Mathématiques Pures et Appliquées Joseph Liouville
• Partenaire(s) de recherche : financeur : Agence nationale de la recherche (France ; 2005-....)
• Jury : Président / Présidente : Olivier Ramaré
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jasson Vindas, Anne-Gwénaëlle de Roton, Lucile Devin, Shalom Eliahou, Emmanuel Fricain
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Olivier Ramaré, Jasson Vindas

Mots clés

Mots clés contrôlés

Convolutions (mathématiques)

Dirichlet, Séries de

Selberg, Formule de trace de

Fonctions zêta

Nombres premiers

Mots clés libres

Théorème des nombres premiers

Fonction de von Mangoldt

Méthodes élémentaires

Inégalité de convolution

Prime number theorem

Von Mangoldt function

Elementary methods

Convolution inequality

Résumé

Le théorème des nombres premiers, démontré pour la première fois en 1896 à l'aide de l'analyse complexe, donne le terme principal pour la répartition asymptotique des nombres premiers. Ce n'est qu'en 1949 que la première démonstration dite ''élémentaire'' fut publiée : elle repose uniquement sur l'analyse réelle. En 1999, Wen Chao Lu a obtenu de manière élémentaire un terme d'erreur dans le théorème des nombres premiers très proche de celui fourni par la région sans zéro de la fonction zêta de Riemann donnée par La Vallée Poussin à la fin du XIXe siècle. Dans cette thèse, nous rendons explicite le résultat de Lu afin d'une part, de donner le meilleur terme d'erreur obtenu par méthodes élémentaires à ce jour, et d'autre part, de déterminer les limites de sa méthode.

The prime number theorem, first proved in 1896 using complex analysis, gives the main term for the asymptotic distribution of prime numbers. It was not until 1949 that the first so-called ''elementary'' proof was published: it rests strictly on real analysis.In 1999, Wen Chao Lu obtained by an elementary method an error term in the prime number theorem very close to the one provided by the zero-free region of the Riemann zeta function given by La Vallée Poussin at the end of the 19th century. In this thesis, we make Lu's result explicit in order, firstly, to give the best error term obtained by elementary methods so far, and secondly, to explore the limits of his method.