Estimation d'ensembles de niveau d'une fonction de profondeur pour des données fonctionnelles. Applications au clustering et à la théorie du risque

Level-sets estimation of a depth function for functional data. Application to clustering and risk theory

• Auteur / Autrice : Elisabeth Armaut
• Direction : Thomas Laloë, Roland Diel
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 10/06/2024
• Etablissement(s) : Université Côte d'Azur
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences fondamentales et appliquées (Nice ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire J.-A. Dieudonné (Nice)
• Jury : Président / Présidente : Elena Di Bernardino
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Thomas Laloë, Roland Diel, Elena Di Bernardino, Regina Y. Liu, Anne Philippe, Matthieu Lerasle, Stanislav Nagy
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Regina Y. Liu, Anne Philippe

Mots clés

Mots clés contrôlés

Risque

Analyse en composantes principales

Décomposition (méthode mathématique)

Ensembles de niveaux, Méthodes d'

Analyse multivariée

Mots clés libres

Profondeurs multivariées

Théorie du risque

Ensemble de niveaux

Profondeurs fonctionnelles

ACPF

Décomposition de Karhunen-Loève

Multivariate depth

Risk theory

Depth level-sets

Functional depth

FPCA

Karhunen-Loève decomposition

Résumé

Les fonctions de profondeur statistiques jouent un rôle fondamental dans l'analyse et la caractérisation des structures de données complexes. Les profondeurs fournissent une mesure de centralité ou d'excentricité pour une observation individuelle ou pour l'ensemble des données, ce qui aide à comprendre leurs positions relatives et leurs distributions sous-jacentes. Les concepts relatifs à la profondeur, tels qu'ils sont présents dans la littérature, trouvent leur origine dans la notion de profondeur de Tukey, également désignée sous le nom de profondeur médiane. Cette notion a été introduite par le statisticien John W. Tukey dans son article intitulé ''Mathematics and the Picturing of Data'' publié en 1975 [170]. La principale idée sous-jacente à la profondeur de Tukey consiste à généraliser la médiane univariée d'un jeu de données unidimensionnel en dimension supérieure.Dans un premier temps, nous nous intéressons aux profondeurs multivariées suivies des profondeurs fonctionnelles, pour lesquelles nous construisons une revue générale dans le Chapitre 1.Dans la seconde partie de la thèse, i.e. dans le Chapitre 2, nous entreprenons une étude rigoureuse des ensembles de niveaux des fonctions de profondeur multivariées et établissons plusieurs propriétés analytiques et statistiques. Tout d'abord, nous montrons que lorsque la profondeur multivariée sous-jacente est suffisamment régulière, la différence symétrique entre l'ensemble de niveaux de profondeur estimé et son équivalent théorique converge vers zéro en termes de volume d-dimensionel et de probabilité sous la distribution considérée. Outre ces contributions, la nouveauté du Chapitre 2, dans le cadre de la théorie du risque, réside dans l'introduction d'une mesure de risque basée sur une profondeur appelée Covariate-Conditional-Tail-Expectation (CCTE). Globalement, la CCTE vise à calculer un coût moyen sachant qu'au moins un des facteurs de risque en jeu est 'élevé' suivant une certaine direction. Cette dernière zone de risque est modélisée par un ensemble de niveau de faible profondeur. Contrairement à des mesures de risques fondées sur les queues de distribution, notre définition de CCTE est indépendante de toute direction grâce à l'implication des ensembles de niveaux d'une profondeur. Nous démontrons également que, lorsque la taille de l'échantillon tend vers l'infini, la CCTE basée sur la profondeur empirique est consistante par rapport à sa version théorique. Et nous fournissons les taux de convergence pour la CCTE, pour des niveaux de risque fixes ainsi que lorsque le niveau de risque tend vers zéro quand la taille de l'échantillon tend vers l'infini. Dans ce dernier cas d'étude, nous analysons de même le comportement de la définition originelle de CCTE basée sur une fonction de répartition, cas qui n'a pas été étudié dans [56]. En plus des simulations effectuées sur la CCTE, nous illustrons son utilité sur des données environnementales.La dernière partie de cette thèse, le Chapitre 3, conclut notre travail et consiste à définir une profondeur fonctionnelle générale pour des données fonctionnelles basée sur l'analyse en composantes principales fonctionnelles. Cela implique l'utilisation d'une profondeur multivariée générique. Dans cette optique, nous utilisons la décomposition bien connue de Karhunen-Loève comme outil pour pro- jeter un processus aléatoire centré et de carré intégrable le long d'une combinaison linéaire finie de fonctions orthogonales appelées composantes principales. À notre connaissance, il s'agit d'une approche novatrice dans le cadre des profondeurs fonctionnelles. Naturellement, nous proposons un estimateur de notre profondeur fonctionnelle pour lequel nous démontrons une consistance uniforme. Nous complétons enfin notre étude avec des simulations et des applications sur données réelles dans des problèmes de classifications, où notre nouvelle profondeur se révèle être au moins aussi performante que la plupart des concurrents classiques.

Statistical depth functions play a fundamental role in analyzing and characterizing complex data structures. Depth functions provide a measure of centrality or outlyingness for individual observations or entire datasets, aiding in the understanding of their relative positions and underlying distributions. The concepts related to depth, as found in the literature, originate from the notion of Tukey's depth, also known as the median depth. This concept was introduced by the statistician John W. Tukey in his article titled ''Mathematics and the Picturing of Data,'' published in 1975 [170]. The fundamental idea underlying Tukey's depth is to generalize the univariate median of a one-dimensional dataset in higher dimension. First, our interest focuses on multivariate depths followed by functional depths, both of which we build an overall review within Chapter 1. In the second part of this thesis, i.e. in Chapter 2, we undertake a rigorous study of multivariate depth-level sets and establish several analytical and statistical properties. First, we show that, when the underlying multivariate depth is smooth enough, then the symmetric difference between the estimated depth-level set and its theoretical counterpart converges to zero in terms of the d-dimensional volume and of the probability under the unknown distribution. Apart from these contributions, the novelty of Chapter 2 is the introduction and study of a depth-based risk measure called the Covariate-Conditional- Tail-Expectation (CCTE), within a risk theory setup. Roughly, the CCTE aims at computing an average cost knowing that at least one of the risk factors at hand is 'high' in some direction. The latter risk area is modelled by a level-set of low depth value. In contrast to risk measures based on distribution tails, our definition of CCTE is direction-free, owing to the involvement of depth level sets. We establish that, as the sample size goes to infinity the empirical depth-based CCTE is consistent for its theoretical version. We demonstrate consistency and provide rates of convergence for the depth- CCTE, for fixed levels of risk as well as when the risk level goes to zero as the sample size goes to infinity. In this last case of study, we also analyze the behavior of the original CCTE definition based on a distribution function, a case that was not studied in [56]. On top of several simulations performed on the CCTE, we illustrate its usefulness on environmental data.The final part of this thesis, Chapter 3, wraps up our work in which we contribute to defining a new type of depth for functional data based on functional principal component analysis. This includes using a generic multivariate depth. In this view, we use the well known Karhunen-Loève decomposition as a tool to project a centered square-integrable random process along some finite linear combination of orthogonal functions called the principal components. To the best of our knowledge, this is a novel approach in the functional depth literature. In this extent, we involve a multivariate depth function for the vector of the projected principal components. Naturally, we provide an estimator of our functional depth for which we demonstrate uniform consistency with a rate of convergence. We complement our study with several simulations and real data applications to functional classification, where our new depth equals or outperforms most of conventional competitors.