Une méthode implicite pour la construction des modèles géologiques complexes via une interpolation à l'aide des splines et une régularisation basée sur les équations aux dérivées partielles

An implicit spline-based method with PDE-based regularization for the construction of complex geological models

• Auteur / Autrice : Ayoub Belhachmi
• Direction : Bernard Mourrain
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 16/01/2024
• Etablissement(s) : Université Côte d'Azur
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences fondamentales et appliquées (Nice ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut national de recherche en informatique et en automatique (France). Unité de recherche (Sophia Antipolis, Alpes-Maritimes)
• Jury : Président / Présidente : Boniface Nkonga
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Bernard Mourrain, Boniface Nkonga, Guillaume Caumon, Géraldine Morin, Azeddine Benabbou, Colin Daly
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Guillaume Caumon, Géraldine Morin

Mots clés

Mots clés contrôlés

Interpolation (mathématiques)

Équations aux dérivées partielles

Splines, Théorie des

Modèles mathématiques

Mots clés libres

Modélisation implicite

Modélisation structurelle

Fortes variations d'épaisseur

Splines

EDP anisotrope

Interpolation

Implicit modeling

Structural modeling

High thickness variations

Splines

Anisotropic PDE

Interpolation

Résumé

La construction d'un géomodèle numérique est une étape clé dans l'étude et l'exploration du sous-sol. Ces modèles sont construits à partir de données sismiques ou de puits, qui forment un ensemble de points de données associés à des valeurs correspondant à leurs âges géologiques. Cette tâche consiste à construire une fonction implicite, également appelée fonction stratigraphique, qui interpole cet ensemble de points de données. Souvent, les données disponibles sont rares et bruitées, ce qui rend cette tâche difficile, principalement pour les réservoirs où les structures géologiques sont complexes avec plusieurs discontinuités. Pour résoudre ce problème, le problème d'interpolation est généralement complété par un terme de régularisation qui impose un comportement régulier de la fonction implicite. Dans cette thèse, nous proposons une nouvelle méthode pour calculer la fonction stratigraphique qui représente les couches géologiques dans des contextes arbitraires. Dans cette méthode, les données sont interpolées par des splines Powell-Sabin C^1 quadratiques par morceaux et la fonction peut être régularisée via de nombreuses énergies de régularisation. La méthode est discrétisée en éléments finis sur un maillage triangulaire conforme aux failles géologiques. Par rapport aux méthodes d'interpolation classiques, l'utilisation de splines quadratiques par morceaux présente deux avantages majeurs. Premièrement, une meilleure approximation des surfaces stratigraphiques présentant de fortes courbures. Deuxièmement, une réduction de la résolution du maillage, tout en générant des surfaces plus lisses et plus régulières.La régularisation de la fonction est la composante la plus difficile de toute approche de modélisation implicite. Souvent, les méthodes classiques produisent des modèles géologiques incohérents, en particulier pour les données présentant de fortes variations d'épaisseur, et des effets de bulles sont généralement observés. Pour résoudre ce problème, nous introduisons deux nouvelles énergies de régularisation liées à deux EDPs fondamentales, sous leur forme générale avec des coefficients variants spatialement. Ces EDPs sont l'équation de diffusion anisotrope et l'équation de flexion d'une plaque mince anisotrope. Dans la première approche, le tenseur de diffusion est introduit et adapté de manière itérative aux variations et à l'anisotropie des données. Dans la seconde, le tenseur de rigidité est adapté de manière itérative aux variations et à l'anisotropie des données. Nous démontrons l'efficacité des méthodes proposées en 2D, spécifiquement sur des coupes transversales de modèles géologiques avec des réseaux de failles complexes et des couches géologiques présentant des variations d'épaisseur.

The construction of a geological numerical model is a key step in the study and exploration of the subsurface. These models are constructed from seismic or well data, which consist of data points associated with values corresponding to their geological ages. This task involves constructing an implicit function, known also as stratigraphic function, which interpolates this set of data points. Often the available data are sparse and noisy, which makes this task difficult, mainly for reservoirs where the geological structures are complex with distinct discontinuities and unconformities. To address this, the interpolation problem is typically supplemented with a regularization term that enforces a regular behaviour of the implicit function. In this thesis, we propose a new method to compute the stratigraphic function that represents geological layers in arbitrary settings. In this method, the data are interpolated by piecewise quadratic C^1 Powell-Sabin splines and the function can be regularized via many regularization energies. The method is discretized in finite elements on a triangular mesh conforming to the geological faults. Compared to classical interpolation methods, the use of piecewise quadratic splines has two major advantages. First, a better handling of stratigraphic surfaces with strong curvatures. Second, a reduction in mesh resolution, while generating surfaces of higher smoothness and regularity.The regularization of the function is the most difficult component of any implicit modeling approach. Often, classical methods produce inconsistent geological models, in particular for data with high thickness variation, and bubble effects are generally observed. To handle this problem, we introduce two new regularization energies that are linked to two fundamental PDEs, in their general form with spatially varying coefficients. These PDEs are the anisotropic diffusion equation and the equation that describes the bending of an anisotropic thin plate. In the first approach, the diffusion tensor is introduced and iteratively adapted to the variations and anisotropy of the data. In the second, the rigidity tensor is iteratively adapted to the variations and anisotropy in the data. We demonstrate the effectiveness of the proposed methods in 2D, specifically on cross-sections of geological models with complex fault networks and thickness variations in the layers.