Isomorphisme de réseaux d'automates et son influence sur le graphe d'interaction

Automata network isomorphism and its influence on the interaction graph

• Auteur / Autrice : Aymeric Picard Marchetto
• Direction : Adrien Richard
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 22/10/2024
• Etablissement(s) : Université Côte d'Azur
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et technologies de l'information et de la communication (Nice ; 1992-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Informatique, signaux et systèmes (Sophia Antipolis, Alpes-Maritimes)
• Jury : Président / Présidente : Frédéric Giroire
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Adrien Richard, Frédéric Giroire, Damien Regnault, Loïc Paulevé, Sylvain Sené, Élisabeth Rémy, Florian Bridoux
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Damien Regnault, Loïc Paulevé

Mots clés

Mots clés contrôlés

Isomorphismes (mathématiques)

Théorie des graphes

Systèmes dynamiques

Automates

Mots clés libres

Systèmes dynamiques discrets

Réseaux d'automates

Graphes d'interaction

Isomorphisme

Dynamique synchrone

Dynamique asynchrone

Discrete dynamical systems

Automata networks

Interaction graphs

Isomorphism

Synchronous dynamic

Asynchronous dynamic

Résumé

Un réseau d'automates à n composantes sur un alphabet fini Q est un système dynamique discret décrit par l'itération successive d'une fonction f : Qⁿ → Qⁿ. Dans la plupart des utilisations de ces réseaux, un paramètre important est le graphe d'interaction : un graphe sur les sommets de 1 à n ayant un arc de i vers j si f_ ј(x) dépend de x_i. Ce graphe d'interaction est en général plus facile à déterminer que la dynamique du réseau en elle-même, d'où découle une question importante : qu'est-ce que le graphe d'interaction nous apprend sur la dynamique du réseau ? Pour tenter de trouver des limites à cette question, on se pose ici la question inverse : que nous dit la dynamique sur le graphe d'interaction ? Pour cela, on étudie les réseaux à isomorphisme près. L'isomorphisme préserve la plupart des propriétés étudiées, mais ne préserve pas le graphe d'interaction. On va donc étudier G(f), l'ensemble des graphes d'interaction des réseaux isomorphes à f. On prouve notamment que K_n, le graphe d'interaction ayant tous les arcs, se trouve toujours dans G(f), qu'il est le seul à avoir cette propriété. Cela signifie que si K_n est le graphe d'interaction de f, il ne donne aucune information sur f à isomorphisme près. Réciproquement, on montre qu'il existe des réseaux f qui ne donnent aucune information sur leur graphe d'interaction : G(f) contient tous les graphes, sauf le graphe vide. Enfin, on étudie également l'impact de l'isomorphisme sur la dynamique asynchrone. On montre que celui-ci ne préserve que très peu de propriétés de ces dynamiques, hormis le nombre de points fixes.

An automata network with n components on a finite alphabet Q is a discrete dynamical system described by successives iterations of a function f : Qⁿ → Qⁿ. An important parameter in most applications is the interaction graph: a graph with vertices from 1 to n and with an arc from i to j if f_j(x) depends on x_i. In general, this interaction graph is easier to approximate than the network's actual dynamic. This raises an important question: what does the interaction graph tell us about the network's dynamic? In an attempt to find limits to this question, we study the inverse: what does the network's dynamic tell us about its interaction graph? To this end, we study networks up to isomorphism. Isomorphism preserves most studied properties, but does not preserve the interaction graph. We will thus study G(f), the set of interaction graphs of all networks isomorphic to f. Notably, we prove that K_n, the interaction graph with all arcs, is always in G(f), and it's the only graph with this property. This means if K_n is the interaction graph of f, then it gives no information on f up to isomorphism. Inversely, we show there are networks f that give no information on their interaction graph: G(f) contains all graphs, except the empty one. Finally, we also study the impact of isomorphism on asynchronous dynamics. We show that it preserves very little properties of those dynamics, except the number of fixed points.