Coloration de graphes dirigés

Digraph colouring

• Auteur / Autrice : Lucas Picasarri-Arrieta
• Direction : Frédéric Havet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 18/06/2024
• Etablissement(s) : Université Côte d'Azur
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et technologies de l'information et de la communication (Nice ; 1992-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut national de recherche en informatique et en automatique (France). Unité de recherche (Sophia Antipolis, Alpes-Maritimes)
• Jury : Président / Présidente : Stéphan Thomassé
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Frédéric Havet, Stéphan Thomassé, Anders Yeo, Alexander David Scott, Louis Esperet, Stéphane Bessy, Marthe Bonamy, Ararat Harutyunyan
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Anders Yeo, Alexander David Scott, Louis Esperet

Mots clés

Mots clés contrôlés

Coloriage de graphes

Graphes orientés

Mots clés libres

Digraphes

Dicoloration

Nombre dichromatique

Reconfiguration

Digraphes dicritiques

Digraphs

Dicolouring

Dichromatic number

Reconfiguration

Dicritical digraphs

Résumé

Cette thèse est dédiée à l'étude de la dicoloration, une notion de coloration pour les digraphes introduite par ErdH{o}s et Neumann-Lara à la fin des années 1970, ainsi que le paramètre qui lui est associé, à savoir le nombre dichromatique. Au cours des dernières décennies, ces deux notions ont permis de généraliser de nombreux résultats classiques de coloration de graphes.Nous commençons par donner différentes bornes sur le nombre dichromatique des digraphes dont le graphe sous-jacent est un graphe cordal. Ensuite, nous améliorons la borne donnée par le théorème de Brooks pour les digraphes sans arcs antiparallèles et introduisons une notion de dégénérescence variables pour les digraphes, ce qui nous permet de prouver une version plus générale du théorème de Brooks.Nous étudions ensuite les digraphes $k$-dicritiques, c'est-à-dire les obstructions minimales à la $(k-1)$-dicolorabilité. En particulier, nous généralisons un résultat de Gallai au cas dirigé, et nous prouvons une conjecture de Kostochka et Stiebitz dans le cas particulier $k=4$. Nous discutons également la densité maximum de tels digraphes, et prouvons qu'il n'y a qu'un nombre fini de digraphes semi-complets $3$-dicritiques. On donne par la suite certains résultats structurels sur les digraphes dicritiques de grand ordre.Enfin, nous étudions la notion de redicoloration pour les digraphes. En particulier, nous prouvons que de nombreux résultats soutenant la conjecture de Cereceda se généralisent au cas dirigé.

This thesis focuses on a notion of colouring of digraphs introduced by ErdH{o}s and Neumann-Lara in the late 1970s, namely the dicolouring, and its associated digraph parameter: the dichromatic number. It appears in the last decades that many classical results on proper graph colouring have directed counterparts using these notions.We first give a collection of bounds on the dichromatic number of digraphs for which the underlying graph is chordal. We then strengthen the Directed Brooks' Theorem on a large class of digraphs which contains digraphs without antiparallel arcs. We also introduce a notion of variable degeneracy for digraphs which leads to a more general version of this theorem.Next we prove a collection of results on $k$-dicritical digraphs, that is the digraphs that are minimal obstruction for the $(k-1)$-dicolourability. We first generalise a result of Gallai to the directed case and then prove a conjecture of Kostochka and Stiebitz in the particular case $k=4$. We also discuss the maximum density of such digraphs and prove that the number of $3$-dicritical semi-complete digraphs is finite. We then give a collection of results on the substructures in large dicritical digraphs.We finally study the notion of redicolouring for digraphs. In particular we prove that a large collection of evidences for Cereceda's conjecture admit a directed counterpart.