Développement d’un solveur multigrille algébrique pour l’équation de Helmholtz indéfinie

Development of an algebraic multigrid solver for the indefinite Helmholtz equation

• Auteur / Autrice : Clément Richefort
• Direction : Pierre Ramet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 27/11/2024
• Etablissement(s) : Bordeaux
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques et informatique
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire bordelais de recherche en informatique
• Jury : Président / Présidente : Stéphanie Chaillat
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Ulrich Rüde, Vandana Dwarka
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Edmond Chow

Mots clés

Mots clés contrôlés

Calcul intensif (informatique)

Helmholtz, Équation d'

Méthodes multigrilles (analyse numérique)

Algèbre linéaire

Mots clés libres

Algèbre linéaire

Analyse numérique

Calcul Haute Performance

Linear Algebra

Numerical Analysis

High Performance Computing

Résumé

La simulation numérique de phénomènes physiques complexes requiert généralement la résolution de systèmes d’équations linéaires. La méthode de résolution doit tirer profit des infrastructures modernes de calcul, et passer à l’échelle d’un parallélisme accru. En particulier, les méthodes multigrilles répondent à cette exigence de scalabilité, et permettent de résoudre une grande variété de problèmes dont le noyau a un aspect géométriquement lisse, et où les matrices de discrétisation sont symétriques définies positives. Cette thèse vise à étendre les méthodes multigrilles à l’équation de Helmholtz, dont le noyau est oscillant et la matrice de discrétisation indéfinie. En particulier, le lisseur doit capturer les grandes valeurs propres indépendamment du signe et les opérateurs d’interpolation doivent ici propager une information oscillante et inconnue lors de la phase d’initialisation de la méthode. Enfin, la correction grossière perd ses propriétés de minimisation car la matrice indéfinie ne génère aucune norme. Par conséquent, une correction grossière alternative doit être développée pour garantir la contraction de l’erreur au fil des itérations. L’objectif est d’obtenir une méthode multi-niveaux convergente, et en un nombre d’itérations constant indépendant de la taille du problème. De nombreuses expériences numériques sont présentées tout au long de cette thèse.

The numerical simulation of complex physical phenomena generally requires to solve systems of linear equations. The solver should benefit from modern computing machines and scale on highly parallel architectures. In particular, multigrid methods are scalable methods that enable the resolution of a wide range of problems where the discretization matrix is symmetric positive definite and the near-kernel space geometrically smooth. In this thesis, our target is to extend multigrid methods to the oscillatory and indefinite Helmholtz equation. Each multigrid operator should be adapted to these challenging properties. In particular, the smoother should capture large eigenvalues independently of the sign. Moreover, the range of interpolation should now approximate the oscillatory near-kernel space that is unknown at the set-up phase of multigrid. Last, indefinite matrices do not generate a norm. As a consequence, the coarse correction has no minimization properties and can amplify the error. In this thesis, we present an alternative coarse correction that contracts the error properly. We target a multil-level method that converges in a constant number of iterations independently of the matrix size. Various numerical experiments are presented throughout this thesis.