Grands diviseurs premiers de suites récurrentes linéaires

Big prime factors of linear recurrent sequences

• Auteur / Autrice : Haojie Hong
• Direction : Yuri Bilu
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques Pures
• Date : Soutenance le 08/07/2024
• Etablissement(s) : Bordeaux
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux
• Jury : Président / Présidente : Jean Gillibert
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Florent Jouve
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Sara Checcoli, Aurélien Galateau

Mots clés

Mots clés contrôlés

Diviseurs, Théorie des

Fibonacci, Suite de

Nombres p-adiques

Lucas, Suites de

Mots clés libres

Diviseurs premiers

Suites de Lucas

Formes logarithmiques p-adiques

Nombres de Fibonacci

Méthode de Stewart

Prime divisors

Lucas sequences

P-adic logarithmic forms

Fibonacci numbers

Stewart’s argument

Résumé

Cette thèse porte sur les minorations des plus grands diviseurs premiers de suites récurrentes linéaires. Tout d’abord, nous obtenons une version uniforme et explicite du résultat séminal de Stewart sur les diviseurs premiers des suites de Lucas. Nous montrons que les constantes du théorème de Stewart ne dépendent que du corps quadratique correspondant à la suite de Lucas, mais pas d’autres paramètres. Nous étudions ensuite les diviseurs premiers des ordres de courbes elliptiques sur des corps finis. En fixant une courbe elliptique sur un corps fini Fq avec q puissance d’un nombre premier, la suite #E(Fqn) s’avère être une suite récurrente linéaire d’ordre 4. Soit P(x) le plus grand nombre premier divisant x. Une minoration de P(#E(Fqn)) est donnée en utilisant l’argument de Stewart et quelques discussions plus délicates. Ensuite, motivés par nos deux projets précédents, nous pouvons montrer que lorsque γ est un nombre algébrique de degré 2 et non une racine d’unité, il existe un idéal premier p de Q(γ) vérifiant νp(γn − 1) ≥ 1, tel que le nombre premier rationnel p sous-jacent à p croît plus rapidement que n. Enfin, nous considérons une application de la méthode de Stewart aux nombres de Fibonacci Fn. Nous obtenons des bornes relativement plus nettes pour P(Fn). Tous les sujets ci-dessus s’appuient essentiellement sur l’estimation de Yu pour des formes linéaires de logarithmique p-adiques.

This thesis is about lower bounds for the biggest prime divisors of linear recurrent sequences. First, we obtain a uniform and explicit version of Stewart’s seminal result about prime divisors of Lucas sequences. We show that constants in Stewart’s theorem depend only on the quadratic field corresponding to a Lucas sequence. Then we study the prime divisors of orders of elliptic curves over finite fields. Fixing an elliptic curve over Fq with q power of a prime number, the sequence #E(Fqn) happens to be a linear recurrent sequence of order 4. Let P(x) be the biggest prime dividing x. A lower bound of P(#E(Fqn)) is given by using Stewart’s argument and some more delicate discussions. Next, motivated by our previous two projects, we can show that when γ is an algebraic number of degree 2 and not a root of unity, there exists a prime ideal p of Q(γ) satisfying νp(γn − 1) ≥ 1, such that the rational prime p underlying p grows quicker than n. Finally, we consider a numerical application of Stewart’s method to Fibonacci numbers Fn. Relatively sharp bounds for P(Fn) are obtained. All of the above work relies heavily on Yu’s estimate for p-adic logarithmic forms.