Propriétés spectrales d'opérateurs de Dirac sur certains domaines

Spectral properties of Dirac operators on certain domains

• Auteur / Autrice : Mahdi Zreik
• Direction : Vincent Bruneau, Luis Vega Gonzalez
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées et calcul scientifique
• Date : Soutenance le 13/05/2024
• Etablissement(s) : Bordeaux en cotutelle avec Universidad del País Vasco
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux
• Jury : Président / Présidente : El Maati Ouhabaz
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Luca Fanelli, Pablo Miranda
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Nicolas Raymond, David Krejcirik

Mots clés

Mots clés contrôlés

Régime de couplage fort

Spectroscopie

Opérateurs de Dirac

Mots clés libres

Opérateurs de Dirac

Extensions auto-adjointes

Analyse spectrale

Δ-shell interactions

Opérateurs de Poincaré-Steklov

Modèle MIT bag

Opérateurs h-Pseudodifferentiel

Couplage fort

Self-adjoint extensions

Δ-shell interactions

Dirac operators

Spectral Analysis

Poincaré-Steklov operators

MIT bag model

H-Pseudodifferential operators

Large coupling limits

Résumé

Cette thèse se focalise sur l'étude spectrale des modèles de perturbations de l'opérateur de Dirac libre en dimensions 2 et 3.Le premier chapitre de cette thèse étudie la perturbation de l'opérateur de Dirac par une grande masse M, supportée sur un domaine. Notre objectif principal est d'établir, sous la condition d'une masse M suffisamment grande, la convergence de l'opérateur perturbé vers l'opérateur de Dirac avec la condition au bord MIT bag, au sens de la norme de la résolvante. Pour se faire, nous introduisons ce que nous appelons les opérateurs Poincaré-Steklov (PS) (comme un analogue des opérateurs Dirichlet-to-Neumann pour l'opérateur de Laplace) et les analysons d'un point de vue microlocal, afin de comprendre précisément le taux de convergence de la résolvante. D'une part, nous montrons que les opérateurs PS s'intègrent dans le cadre des opérateurs pseudodifférentiels et nous déterminons leurs symboles principaux. D'autre part, comme nous nous intéressons principalement aux grandes masses, nous traitons notre problème du point de vue semiclassique, où le paramètre semiclassique est h = M^{-1}. Enfin, en établissant une formule de Krein reliant la résolvante de l'opérateur perturbé à celle de l'opérateur MIT bag, et en utilisant les propriétés pseudodifférentielles des opérateurs PS combinées aux structures matricielles des symboles principaux, nous établissons la convergence requise avec un taux de convergence de O(M^{-1}.Dans le chapitre 2, nous définissons un voisinage tubulaire de la frontière d'un domaine régulier donné. Nous considérons la perturbation de l'opérateur de Dirac libre par une grande masse M, supportée dans ce voisinage d'épaisseur varepsilon:=M^{-1}. Notre objectif principal est d'étudier la convergence de l'opérateur de Dirac perturbé lorsque M tend vers l'infini. En comparaison avec la première partie, nous obtenons ici deux opérateurs limites MIT bag, qui agissent en dehors de la frontière. Il est intéressant de noter que le découplage de ces deux opérateurs MIT bag peut être considéré comme la version confinée de delta-interaction scalaire de Lorentz de l'opérateur de Dirac, supportée sur une surface fermée. La méthodologie suivie, comme au problème précédent, porte sur l'étude des propriétés pseudodifférentielles des opérateurs PS. Cependant, la nouveauté de ce problème réside dans le contrôle de ces opérateurs en suivant la dépendance du paramètre varepsilon, et par conséquent, dans la convergence lorsque varepsilon tend vers 0 et M tend vers l'infini. Avec ces ingrédients, nous prouvons que l'opérateur perturbé converge au sens de la norme de la résolvante vers l'opérateur de Dirac couplé à une delta-interaction scalaire de Lorentz.Dans le chapitre 3, nous généralisation une approximation de l'opérateur de Dirac tridimensionnel couplé à une combinaison singulière de delta-interactions électrostatiques et scalaires de Lorentz supportée sur une surface fermée, par un opérateur de Dirac avec un potentiel régulier localisé dans une couche mince contenant la surface. Dans les cas non-critiques et non-confinants, nous montrons que l'opérateur de Dirac perturbé régulier converge au sens de la résolvante forte vers la delta-interaction singulière de l'opérateur de Dirac.Dans le dernier chapitre, notre étude porte sur l'opérateur de Dirac bidimensionnel couplé à une delta-interaction électrostatique et scalaire de Lorentz. Nous traitons dans des espaces de Sobolev d'ordre un-demi l'auto-adjonction de certaines réalisations de ces opérateurs dans divers contextes de courbes. Le cas le plus important se présente lorsque les courbes considérées sont des polygones curvilignes. Sous certaines conditions sur les constantes de couplage, en utilisant la propriété de Fredholm de certains opérateurs intégraux de frontière, et en exploitant la forme explicite de la transformée de Cauchy sur des courbes non lisses, nous établissons l'auto-adjonction de l'opérateur perturbé.

This thesis mainly focused on the spectral analysis of perturbation models of the free Dirac operator, in 2-D and 3-D space.The first chapter of this thesis examines perturbation of the Dirac operator by a large mass M, supported on a domain. Our main objective is to establish, under the condition of sufficiently large mass M, the convergence of the perturbed operator, towards the Dirac operator with the MIT bag condition, in the norm resolvent sense. To this end, we introduce what we refer to the Poincaré-Steklov (PS) operators (as an analogue of the Dirichlet-to-Neumann operators for the Laplace operator) and analyze them from the microlocal point of view, in order to understand precisely the convergence rate of the resolvent. On one hand, we show that the PS operators fit into the framework of pseudodifferential operators and we determine their principal symbols. On the other hand, since we are mainly concerned with large masses, we treat our problem from the semiclassical point of view, where the semiclassical parameter is h = M^{-1}. Finally, by establishing a Krein formula relating the resolvent of the perturbed operator to that of the MIT bag operator, and using the pseudodifferential properties of the PS operators combined with the matrix structures of the principal symbols, we establish the required convergence with a convergence rate of mathcal{O}(M^{-1}).In the second chapter, we define a tubular neighborhood of the boundary of a given regular domain. We consider perturbation of the free Dirac operator by a large mass M, within this neighborhood of thickness varepsilon:=M^{-1}. Our primary objective is to study the convergence of the perturbed Dirac operator when M tends to +infty. Comparing with the first part, we get here two MIT bag limit operators, which act outside the boundary. It's worth noting that the decoupling of these two MIT bag operators can be considered as the confining version of the Lorentz scalar delta interaction of Dirac operator, supported on a closed surface. The methodology followed, as in the previous problem study the pseudodifferential properties of Poincaré-Steklov operators. However, the novelty in this problem lies in the control of these operators by tracking the dependence on the parameter varepsilon, and consequently, in the convergence as varepsilon goes to 0 and M goes to +infty. With these ingredients, we prove that the perturbed operator converges in the norm resolvent sense to the Dirac operator coupled with Lorentz scalar delta-shell interaction.In the third chapter, we investigate the generalization of an approximation of the three-dimensional Dirac operator coupled with a singular combination of electrostatic and Lorentz scalar delta-interactions supported on a closed surface, by a Dirac operator with a regular potential localized in a thin layer containing the surface. In the non-critical and non-confining cases, we show that the regular perturbed Dirac operator converges in the strong resolvent sense to the singular delta-interaction of the Dirac operator. Moreover, we deduce that the coupling constants of the limit operator depend nonlinearly on those of the potential under consideration.In the last chapter, our study focuses on the two-dimensional Dirac operator coupled with the electrostatic and Lorentz scalar delta-interactions. We treat in low regularity Sobolev spaces (H^{1/2}) the self-adjointness of certain realizations of these operators in various curve settings. The most important case in this chapter arises when the curves under consideration are curvilinear polygons, with smooth, differentiable edges and without cusps. Under certain conditions on the coupling constants, using the Fredholm property of certain boundary integral operators, and exploiting the explicit form of the Cauchy transform on non-smooth curves, we achieve the self-adjointness of the perturbed operator.