Factorisation des opérateurs différentiels en caractéristique positive

Factorisation of differential operators in positive characteristic

• Auteur / Autrice : Raphaël Pagès
• Direction : Xavier Caruso, Alin Bostan
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques Pures
• Date : Soutenance le 21/02/2024
• Etablissement(s) : Bordeaux
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux
• Jury : Président / Présidente : Julien Roques
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Elena Berardini, Charlotte Hardouin, Irene I. Bouw
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Bernard Le Stum, Mark van Hoeij

Mots clés

Mots clés contrôlés

Courbes algébriques

Azumaya, Algèbres d'

Calcul formel

Opérateurs différentiels

Mots clés libres

Calcul formel

Opérateurs différentiels

Algèbre d'Azumaya

Courbes algébriques

Caractéristique positive

Azumaya algebras

Computer Algebra

Differential operators

Algebraic curves

Positive characteristic

Résumé

L’étude des opérateurs différentiels linéaires est une partie importante de l’étude algébrique deséquations différentielles. Les anneaux d’opérateurs différentiels linéaires partagent de nombreusespropriétés avec les anneaux de polynômes, mais le caractère non commutatif de la multiplicationrend la conception d’algorithmes de factorisation plus compliquée. L’objet de cette thèse est ledéveloppement d’un algorithme calculant un facteur droit irréductible d’un opérateur différentiellinéaire donné dont les coefficients sont des éléments d’un corps de fonctions algébriques de car-actéristique p. La situation diffère grandement du problème analogue en caractéristique 0 car lescorps de fonctions algébriques de caractéristique positive sont de dimension finie sur leur corps desconstantes. De ceci découle une structure additionnelle d’algèbre d’Azumaya qui fournit des outilssupplémentaires pour attaquer le problème de la factorisation.Une première étape est le calcul de la p-courbure, un invariant classique de première importancedes opérateurs différentiels en caractéristique p. Le premier résultat significatif de cette thèse estun algorithme calculant, pour un opérateur différentiel L en caractéristique 0 et un entier N ∈ N ∗donnés, tous les polynômes caractéristiques des p-courbures des réductions de L modulo p, pourtous les nombres premiers p ⩽ N .La deuxième partie de la thèse est consacrée à la factorisation en elle-même. Nous utilisonsla structure d’algèbre d’Azumaya pour montrer que la recherche de facteurs irréductibles à droiterevient à la résolution de l’équation de p-Riccatif^{ (p−1) } + f^p = a^pdans K[a], où a est une certaine fonction algébrique sur K.Cette observation nous permet de développer deux algorithmes importants. Le premier est uneapplication du principe global-local conduisant à un test d’irréductibilité de complexité polynomialepour les opérateurs différentiels. Le second est un algorithme de résolution de l’équation de p-Riccati utilisant plusieurs outils de la géométrie algébriques pour les courbes, dont les espaces deRiemann-Roch et les groupes de Picard. Nous effectuons une analyse de complexité approfondie decet algorithme et montrons que l’équation de p-Riccati admet toujours une solution dont la tailleest comparable à celle du paramètre a. Cet algorithme rend en particulier possible la factorisationdes opérateurs centraux (un cas qui a souvent été laissée de côté par le passé) et diminue la tailledes facteurs droits irréductibles d’opérateurs différentiels linéaires d’un facteur p en comparaisondes travaux précédents.On en déduit finalement un algorithme de factorisation complet pour les opérateurs différentielslinéaires de caractéristique positive.

The study of linear differential operators is an important part of the algebraic study of differentialequations. Rings of linear differential operators share many properties with rings of polynomials,but the noncommutative aspect of the multiplication makes the design of factorisation algorithmsharder. This thesis focuses mainly on developing an algorithm computing an irreducible rightfactor of a given linear differential operator with coefficients in an algebraic function field of positivecharacteristic p. The situation differs greatly from the same problem in characteristic 0 becausealgebraic function fields of characteristic p are finite dimensional over their field of constants. Thissimple fact provides the ring of differential operators in characteristic p with an additional structureof Azumaya algebra, which gives additional tools to attack our problem.A first step in this direction is the computation of the p-curvature, a classical invariant ofprimary importance attached to differential operations in characteristic p. The first importantresult of this thesis is an algorithm computing, for a given operator L in characteristic 0 and aninteger N , all the characteristic polynomials of the p-curvatures of its reduction modulo p, for allprimes p ⩽ N .The second part of the thesis is dedicated to the factorisation itself. We use the Azumayaalgebra structure to show that finding irreducible right irreducible factors reduces to solving thep-Riccati equationf^{ (p−1) } + f^p = a^pin K[a] where a is a suitable algebraic function over K. This observation leads to two importantalgorithms. The first one is an application of the global-local principle which eventually providesa polynomial time irreducibility test for differential operators. The second one is an actual reso-lution algorithm for the p-Riccati equation that uses tools of algebraic geometry for curves suchas Riemann-Roch spaces and Picard group. We do a complexity analysis of this algorithm, andshow that the p-Riccati equation always admit solution whose size is comparable to that of theparameter a. As a byproduct, this algorithm makes the factorisation of central operators possible(a situation which was often left aside) and lower the size of right factors of general operatorsby a factor p compared to previous works. We finally deduce a full factorisation algorithm fordifferential operators of positive characteristic.