Stabilité des chocs et de leurs approximations visqueuses

Stability of shocks and their viscous approximations

• Auteur / Autrice : Paul Blochas
• Direction : Luis Miguel Rodrigues
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance le 06/07/2023
• Etablissement(s) : Université de Rennes (2023-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, télécommunications, informatique, signal, systèmes, électronique (Rennes ; 2022-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche mathématique (Rennes ; 1996-....)
• Jury : Président / Présidente : Sylvie Benzoni-Gavage
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Luis Miguel Rodrigues, Boris P. Andreïanov, Benjamin Boutin, Anne-Laure Dalibard
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Franck Sueur, Frédéric Rousset

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations aux dérivées partielles

Mots clés libres

Ondes Progressives

Chocs

Équations aux dérivées partielles non linéaires

Travelling waves

Shocks

Nonlinear partial differential equations

Résumé

Cette thèse concerne la stabilité d’ondes contenant une discontinuité. Plus précisément, le problème est de comprendre quels sont les chocs qui sont orbitalement stables en temps long dans des topologies encodant de la régularité par morceaux. Ce travail suit le cadre d’existence et stabilité en temps court de perturbations de chocs de référence fourni par des résultats récents. De plus, le problème de l’approximation visqueuse de telles ondes est également considérée, et est le point principal considéré ici. Dans le premier chapitre, la stabilité et l’instabilité d’ondes discontinues dans des problèmes de combustion. Les problèmes sont hyperboliques, et considérées dans des espaces à poids. Le deuxième chapitre et le troisième chapitre sont centrés sur la stabilité asymptotique orbitale d’approximations visqueuses de chocs, dans un cadre scalaire. Le premier cas traité est celui d’un choc de Riemann dont le linéarisé a un spectre qui contient un trou spectral. Le second cas est associé à un choc de Riemann spectralement instable, qui est stabilisé au niveau spectral par l’introduction de poids. Un front lisse au niveau hyperbolique est également étudié de cette façon.

In this thesis, the stability of waves containing some discontinuity is studied. More precisely, the goal is to prove results of asymptotic orbital stability of shocks in piecewise smooth topologies. The framework follows the one given by recent results obtained to understand conditions ensuring local wellposedness of perturbations around a shock of reference. Moreover, the study of uniform asymptotic stability of viscous approximations of shocks is the main point considered in this thesis. The first chapter is related to the stability and instability properties of various waves containing a discontinuity in the framework of combustion models. This is done in the con-text of hyperbolic equations, using weighted spaces. The second and third chapter are about the stability of Riemann shocks in the viscous regime. The first one is the case of stable Riemann shocks, with a spectral gap at the spectral level. The last one is associated to an unstable Riemann shocks, which is stabilized at the linear level through the use of weights. A smooth traveling wave at the hyperbolic level has its viscous regularization also studied that way.