Sur la dynamique des endomorphismes des surfaces affines

On the dynamics of endomorphisms of affine surfaces

• Auteur / Autrice : Marc Abboud
• Direction : Serge Cantat, Junyi Xie
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance le 07/07/2023
• Etablissement(s) : Université de Rennes (2023-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, télécommunications, informatique, signal, systèmes, électronique (Rennes ; 2022-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche mathématique (Rennes ; 1996-....)
• Jury : Président / Présidente : Charles Favre
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Charles Favre, Jérémy Blanc, Juan Souto, Susanna Zimmermann
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Thomas Gauthier, Mattias Jonsson

Mots clés

Mots clés contrôlés

Endomorphismes (théorie des groupes)

Géométrie algébrique

Mots clés libres

Dynamique

Dynamique arithméthique

Géométrie algébrique

Dynamics

Arithmetic dynamics

Algebraic geometry

Résumé

Une surface affine (sur un corps algébriquement clos) est une variété de dimension 2 définie par des équations polynomiales. Lorsqu’on se donne un endomorphisme d’une telle surface, on peut se poser les questions naturelles suivantes : y’a-t-il des orbites Zariski-denses ? Si l’orbite d’un point part à l’infini, peut-on contrôler sa vitesse de fuite ? Y’a-t-il beaucoup d’orbites périodiques ? Peut-on exhiber une mesure de probabilité invariante intéressante par le système dynamique ? Pour répondre à ces questions, j’utilise des techniques valuatives. Plus précisément un endomorphisme f d’une surface affine S induit une transformation de l’espace des valuations centrées à l’infini de S. L’étude de la dynamique de f sur cet espace de valuations permet de comprendre la dynamique de f sur S.

An affine surface (over an algebraically closed field) is a variety of dimension 2 defined by polynomial equations. Given an endomorphism of such a surface, we can ask the following questions: Are there Zariski dense orbits ? If the orbit of a point goes to infinity, can we control the speed of divergence ? Are there a lot of periodic orbits ? Can we exhibit an interesting probability measure invariant by the dynamical system ? To answer these questions, I use valuative techniques. More precisely, the endomorphism f of an affine surface S induces a self transformation of the space of valuations centered at infinity of S. The study of the dynamics of f over this space of valuations allows one to understand the dynamics of f over S.