Croissance dans les groupes à courbure négative ou nulle

Growth in groups of non-positive curvature

Crecimiento en grupos de curvatura negativa o nula

• Auteur / Autrice : Xabier Legaspi Juanatey
• Direction : Rémi Coulon, Yago Antolín Pichel
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance le 12/07/2023
• Etablissement(s) : Université de Rennes (2023-....) en cotutelle avec Université Complutense de Madrid (1836-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, télécommunications, informatique, signal, systèmes, électronique (Rennes ; 2022-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche mathématique (Rennes ; 1996-....)
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Andrei Jaikin-Zapirain‎, Juan Souto Clément, Alejandra Garrido Ángulo, José Javier Etayo Gordejuela
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : François Dahmani, Tatiana Smirnova-Nagnibeda

Mots clés

Mots clés contrôlés

Groupes hyperboliques

Groupes, Théorie géométrique des

Mots clés libres

Théorie géométrique des groupes

Groupes hyperboliques et leurs généralisations

Croissance exponentielle

Théorie de la petite simplification

Geometric group theory

Hyperbolic groups and their generalisations

Exponential growth

Small cancellation theory

Résumé

L'objectif de cette thèse est d'obtenir une meilleure compréhension du comportement des taux de croissance exponentiels au sein de la classe des groupes qui agissent de manière acylindrique dans un espace hyperbolique au sens de Gromov. Pour ce faire, nous aborderons deux problèmes de nature différente. Dans le premier problème, nous étudierons les taux de croissance exponentiels des sous-groupes quasi-convexes. Nous comparerons ces taux avec celui du groupe ambiant et nous déterminerons quand il est possible d'obtenir une égalité/inégalité stricte. Pour ce faire, nous allons exploiter des actions propres sur des espaces métriques, a priori, non hyperboliques, mais dont les isométries se comportent comme les isométries loxodromiques d'un espace hyperbolique. Le deuxième problème tourne autour de la croissance exponentielle uniforme uniforme. Nous prouverons que cette propriété est préservée si nous prenons des quotients à petite simplification de groupes qui agissent de manière acylindrique sur un espace hyperbolique. En corollaire, nous obtiendrons qu'il existe une borne inférieure universelle sur le taux de croissance exponentielle uniforme pour la famille des quotients à petite simplification classique. Cette borne ne dépend que d'un des deux paramètres d'acylindricité.

The aim of this thesis is to obtain a better understanding of the behavior of exponential growth rates within the class of groups that act acylindrically in a hyperbolic space in the sense of Gromov. To do this, we will address two problems of a different nature. In the first problem we will study the exponential growth rates of quasi-convex subgroups. We will compare these rates with that of the ambient group and we will determine when it is possible to obtain strict equality/inequality. To do so, we will exploit proper actions on metric spaces that, a priori, are not hyperbolic, but that have isometries that behave like the loxodromic isometries of a hyperbolic space. The second problem revolves around uniform uniform exponential growth. We will prove that this property is preserved if we take small cancellation quotients of groups that act acylindrically on a hyperbolic space. As a corollary, we will obtain that there is a universal lower bound on the uniform exponential growth rate for the family of classical small cancellation quotients. This bound depends only on one of the two acylindricity parameters.