Analyse multi-échelle des interactions entre les ondes et les particules

Multi-scale analysis of interactions between waves and particles

• Auteur / Autrice : Shahnaz Farhat
• Direction : Christophe Cheverry, Zied Ammari
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance le 21/09/2023
• Etablissement(s) : Université de Rennes (2023-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : MATISSE
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : IRMAR - Institut de recherche mathématique (Rennes ; 1996-....)
• Jury : Président / Présidente : Frédéric Rousset
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Christophe Cheverry, Rémi Carles, Lisette Jager, Benjamin Schlein, Vedran Sohinger
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Frédéric Rousset, Nataša Pavlović‎

Mots clés

Mots clés contrôlés

Problèmes aux valeurs initiales

Analyse multiéchelle

Théorie du transport

Hamilton-Jacobi, Équations de

Mots clés libres

Equation de Hamilton-Jacobi

Equation de Vlasov

Equation de type Liouville

Equation sur les champs de particules

Modèle de Nelson

Problèmes aux valeurs initiales

Hamilton-Jacobi equation

Vlasov equation

Liouville equations

Initial value problems

Particle-Field equation

Nelson model

Résumé

Cette thèse contient deux parties. La partie I étudie une classe spécifique d'équations différentielles non linéaires oscillantes dans des espaces de dimension finie. Sous des conditions d'intégrabilité, une procédure de « blow-up » et une approximation WKB (de type sur-critique) conduisent à de l'existence en temps longs, à des développements asymptotiques avec une forme forte de stabilité, ainsi qu'à des modèles réduits. En exploitant des conditions de transparence et le théorème d'inversion globale de Hadamard, les résultats sont ensuite appliqués à l'étude d'une classe d'équations de Hamilton-Jacobi oscillantes. Ils sont aussi utilisés pour décrire les caractéristiques de l'équation de Vlasov en présence d'un champ électromagnétique fixe (E,B) tel que E pas égal à zéro et |B| est très grand. La partie II explore la transition de la dynamique quantique vers la dynamique classique des interactions particule-champ. Nous obtenons: le caractère globalement bien-posé en temps du système particule-champ et la validation du principe de correspondance de Bohr du modèle de Nelson. Ensuite, nous étudions la construction de solutions globales de faible régularité pour des problèmes de valeur initiale abstraits dans des espaces de dimension infinie. Nous utilisons des techniques de la théorie de la mesure, une représentation probabiliste et des arguments projectifs pour montrer l'existence de solutions globales pour presque toutes les données initiales. Ceci est appliqué pour construire des solutions globales pour des EDPs non linéaires comme les équations de Hartree, Klein-Gordon, NLS, Euler et mSQG.

This thesis consists of two parts. Part I studies a special class of oscillating nonlinear differential equations in finite dimensional spaces. Under integrability conditions, a « blow-up » procedure and a WKB approximation (of super-critical type) lead to long-time existence, asymptotic expansions with a strong form of stability, and reduced models. These outcomes are then applied to study a class of oscillating Hamilton-Jacobi equations by exploiting transparency conditions and Hadamard's global inverse function theorem. Additionally, they are used to study the characteristics of the Vlasov equation in the presence of a fixed electromagnetic field (E,B) such that E is not equal to zero and |B| is very large. Part II explores the transition from quantum to classical dynamics of particle-field interactions. We obtain: the global well-posedness of a particle-field system and the validation of Bohr's correspondence principle of Nelson model. Then, part II focuses on constructing low regularity global solutions to abstract initial value problems in infinite dimensional spaces. We employ measure-theoretical techniques, a probabilistic representation, and projective arguments to show the existence of mild global solutions to initial value problems for almost all initial data. This is applied to construct global solutions for nonlinear PDEs like Hartree, Klein-Gordon, NLS, Euler and mSQG equations.