Propriétés géométriques et ergodiques des endomorphismes semi-extrémaux de CP(2)

Geometric and ergodic properties of semi-extremal endomorphisms of CP(2)

• Auteur / Autrice : Virgile Tapiero
• Direction : Christophe Dupont
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance le 23/06/2023
• Etablissement(s) : Université de Rennes (2023-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, télécommunications, informatique, signal, systèmes, électronique (Rennes ; 2022-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche mathématique (Rennes ; 1996-....)
• Jury : Président / Présidente : Romain Dujardin
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Matthieu Astorg, Séverine Biard, Jérôme Buzzi, Dominique Cerveau
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Romain Dujardin, Tien-Cuong Dinh

Mots clés

Mots clés contrôlés

Liapounov, Exposants de

Dynamique holomorphe

Mots clés libres

Dynamique holomorphe

Courant de Green

Mesure d’équilibre

Exposants de Lyapunov

Holomorphic dynamics

Green current

Equilibrium measure

Lyapunov exponents

Résumé

La thèse étudie les propriétés géométriques et dynamiques des endomorphismes semi-extrémaux du plan projectif complexe : ce sont les applications holomorphes possédant un seul exposant de Lyapunov minimal. Le premier chapitre traite des aspects géométriques de ces applications. Les exemples connus préservent un pinceau de droites, nous observons tout d’abord que cela impose une formule pluri-potentialiste reliant le courant de Green et la mesure d’équilibre près des points périodiques répulsifs du petit ensemble de Julia. Nous montrons ensuite que, réciproquement, lorsque cette formule est vérifiée, et sous des hypothèses portant sur le courant de Green et la mesure d'équilibre, l'application laisse un feuilletage holomorphe invariant au voisinage du petit ensemble de Julia. Il s'agit là d'un phénomène de rigidité, dont la preuve passe par l'étude d'applications de Poincaré associées aux point périodiques répulsifs. Lorsque le feuilletage se prolonge au plan projectif (par exemple lorsque le complémentaire du petit ensemble de Julia est de Stein), l'application laisse un pinceau invariant. Le deuxième chapitre est consacré aux propriétés dynamiques des endomorphismes semi-extrémaux. Ceux préservant un pinceau de droites possèdent une mesure d’équilibre absolument continue par rapport au courant de Green. R. Dujardin a montré que cette condition garantit la minimalité d'un exposant de Lyapunov. Nous montrons que la propriété réciproque est vraie, sous une certaine condition d’uniformité sur les variétés instables, ce qui répond partiellement à une question posée par R. Dujardin. La preuve associe une méthode classique de théorie ergodique (basée sur des partitions mesurables et sur l'entropie) à un théorème de linéarisation des branches inverses le long d’orbites génériques dans le passé.

In this manuscript we study geometric and dynamical aspects of semi-extremal maps on CP(2) : they are maps with a unique minimal Lyapunov exponent. Chapter one is devoted to geometric properties. The known examples preserve a pencil of lines on the projective plane. We observe that it imposes a pluri-potential equation involving the Green current and the equilibrium measure near periodic repelling points of the small Julia set. Conversely, assuming that this formula holds near one repelling periodic point and assuming additional hypothesis on the Green current and the equilibrium measure, we prove that the map preserves a holomorphic foliation defined on a neighborhood of the small Julia set. It is a rigidity phenomenon whose proof uses a Poincaré map given by the repelling cycle. If the foliation extends to a global foliation on the projective plane (for example if the small Julia set has a Stein complementary), then it is an invariant pencil. Chapter two concerns dynamical aspects of semi-extremal maps. Those which preserve a pencil of lines have an equilibrium measure absolutely continuous with respect to the Green current. R. Dujardin have showed that this condition imposes a minimal Lyapunov exponent. We prove that the converse is true under some uniform conditions at the level of the unstable manifolds of the dynamical system, it is a partial answer to a question asked by R. Dujardin. The proof uses jointly a classic method of ergodic theory (based on measurable partitions and on entropy) and a linearization theorem for inverse branches of the map along generic backward orbits.