Sur les gaz de Coulomb et le transport optimal multimarge

On Coulomb gases and multimarginal optimal transport

• Auteur / Autrice : Rodrigue Lelotte
• Direction : Mathieu Lewin
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences
• Date : Soutenance le 03/10/2023
• Etablissement(s) : Université Paris sciences et lettres
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale SDOSE (Paris)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de recherche en mathématiques de la décision (Paris) - Centre de Recherche en Mathématiques de la Décision
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Paris Dauphine-PSL (1968-....)
• Jury : Président / Présidente : Jean-David Benamou
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Mathieu Lewin, Jean-David Benamou, Virginie Ehrlacher, Brendan Pass, David Dereudre, Grégory Schehr
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Virginie Ehrlacher, Brendan Pass

Mots clés

Mots clés contrôlés

Coulomb, Fonctions de

Mécanique statistique

Potentiel, Théorie du

Mots clés libres

Transport optimal multimarge

Théorie du potentiel

Gaz de Coulomb et Riesz

Mécanique statistique

Transition de phases

Analyse numérique

Multimarginal optimal transport

Potential theory

Coulomb and Riesz gases

Statistical mechanics

Phase transitions

Numerical analysis

Résumé

Nous étudions dans cette thèse les gaz de Coulomb et Riesz au travers du prisme du transport optimal multimarge. Dans une première partie, nous montrons que le potentiel de Kantorovich s'écrit sous la forme d'une convolution et nous étudions les propriétés de la fonction correspondante. Ceci nous permet d'introduire une nouvelle discrétisation pour résoudre numériquement le transport optimal multimarge, basée sur la formulation duale. Dans une deuxième partie, nous étudions le comportement asymptotique du potentiel dans le cadre des coûts de transport répulsifs. Finalement, dans une troisième et dernière partie, nous présentons des résultats numériques qui prédisent l'existence de transitions de phases pour les gaz de Riesz à très longue portée en une dimension d'espace.

In this thesis, we study the Coulomb and Riesz gases through the multimarginal optimal transport theory. In the first chapter, we show that the Kantorovich potential can be written as an electrostatic potential generated by a charge distribution, and we study the properties of this charge. This allows us to introduce a new discretization to solve the multimarginal optimal with the Coulomb cost, based on the Kantorovich dual. In the second chapter, we study the asymptotic behavior of the Kantorovich potential associated to the transport with repulsive costs. Finally, in the third and last chapter, we show numerical evidence for the existence of phase transitions in the one-dimensional Riesz gases with long-range interaction.