Diffusion dans des modèles d’agrégation et de cancer

Diffusion in cancer and aggregation models

• Auteur / Autrice : Frank Alvarez Borges
• Direction : Stéphane Mischler
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences
• Date : Soutenance le 07/12/2023
• Etablissement(s) : Université Paris sciences et lettres
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale SDOSE (Paris)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de recherche en mathématiques de la décision (Paris) - Centre de Recherche en Mathématiques de la Décision
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Paris Dauphine-PSL (1968-....)
• Jury : Président / Présidente : Jean Dolbeault
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Stéphane Mischler, Jean Dolbeault, Raluca Eftimie, Lucilla Corrias, Mariano Rodriguez, Evelyne Miot, Luís Almeida, Nicolas Vauchelet, Jean Clairambault
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Raluca Eftimie, Lucilla Corrias

Mots clés

Mots clés contrôlés

Méthodes particulaires (analyse numérique)

Modèles mathématiques

Agrégation de mathématiques

Mots clés libres

Populations structurées

Modélisation du cancer

Confinement des tumeurs

Méthodes particulaires

Théorie atavique

Système de Keller-Segel parabolique-Parabolique

Structured populations

Cancer modelling

Tumour containment

Particle methods

Atavistic theory

Fully parabolic Keller-Segel system

Résumé

Cette thèse est consacrée à l'étude de plusieurs problèmes issus de la modélisation mathématique des tumeurs. Plus spécifiquement, l’intérêt principal est orienté vers les interactions ayant lieu au sein de la tumeur et avec son environnement. Néanmoins, certains des modèles et méthodes présentés au cœur de la thèse ont une portée bien plus générale que l’étude du cancer. Les principaux résultats sont divisés en cinq chapitres. Dans le premier chapitre, par une nouvelle analyse mathématique comparant la taille des tumeurs entre traitements non pas en fonction du temps, mais en fonction de la taille de la population résistante, nous établissons une comparaison entre les résultats de différentes stratégies de traitement appliquées à une tumeur composée de deux sous-populations, une de cellules sensibles et une autre de cellules résistantes. Dans le deuxième chapitre, nous dérivons l'expression asymptotique d'un cycle limite apparaissant dans un modèle d'interaction tumeur-système immunitaire. Le troisième chapitre est consacré à la modélisation du bet-hedging, une stratégie évolutive d'intérêt pour la théorie atavique du cancer. L'existence et le caractère unique de la solution du modèle sont prouvés et deux phénomènes d'intérêt biologique sont mis en évidence par des simulations. Le chapitre quatre est un complément au troisième chapitre. On y développe une discussion philosophique sur la théorie atavique du cancer et on esquisse deux modèles différents pour l'émergence de la coopération. Le chapitre cinq concerne l'étude d'une méthode particulaire pour un modèle d'advection-réaction-diffusion non local d'une grande importance dans le domaine de les dynamiques adaptatives. La conservation du comportement asymptotique est analysée pour le schéma numérique proposé. Les chapitres six et sept sont consacrés à l'étude du système de Keller-Segel parabolique-parabolique où nous donnons respectivement quelques estimations de la solution et déterminons le comportement asymptotique pour le cas non radial.

This thesis is devoted to the study of several problems arising from the mathematical modelling of tumours. More specifically, the main interest is oriented towards the interactions taking place within the tumour and with its environment. Nevertheless, some of the models and methods presented at the core of the thesis have a much more general scope than the study of cancer. The main results are divided in five chapters. In the first chapter, by a novel mathematical analysis comparing tumor sizes across treatments not as a function of time, but as a function of the resistant population size, we establish a comparison between the outcomes of different treatment strategies applied to a tumour composed of two sub-populations, one of sensitive cells and another one of resistant cells. In the second chapter, we derive the asymptotic expression of a limit cycle arising in a tumour-immune system interaction model. The third chapter is devoted to the modeling of bet-hedging, an evolutionary strategy of interest for the atavistic theory of cancer. The existence and uniqueness of solution for the model is proved and two phenomena of biological interest are evidenced through simulations. Chapter four is a complement for the third chapter. On it, a philosophical discussion about the atavistic theory of cancer is developed and two different models for the emergence of cooperation are sketched. Chapter five is concerned with the study of a particle method for non-local advection-reaction-diffusion model of great importance in the area of adaptive dynamics. The conservation of asymptotic behaviour is analyzed for the proposed numerical scheme. Chapters six and seven are devoted to the study of the fully parabolic Keller-Segel system where we give some estimates over the solution and determine the asymptotic behaviour for the non-radial case, respectively.