Estimations constructives et asymptotiques pour les solutions de certaines EDP linéaires et non linéaires

Constructive and asymptotic estimates for the solutions of some linear and nonlinear PDEs

• Auteur / Autrice : Claudia Fonte Sánchez
• Direction : Stéphane Mischler
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 18/04/2023
• Etablissement(s) : Université Paris sciences et lettres
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale SDOSE (Paris)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de recherche en mathématiques de la décision (Paris) - CEntre de REcherches en MAthématiques de la DEcision / CEREMADE
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Paris Dauphine-PSL (1968-....)
• Jury : Président / Présidente : Delphine Salort
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Stéphane Mischler, Delphine Salort, José A. Cañizo, Vincent Bansaye, Emeric Bouin, Clément Mouhot, Benoît Perthame, Tony Lelièvre
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : José A. Cañizo, Vincent Bansaye

Mots clés

Mots clés contrôlés

Neurosciences

Équations aux dérivées partielles

Bernstein, Théorème de

Mots clés libres

Neuroscience

Comportement asyntotique

Comportement à long terme

Inégalité de Bernstein

PDE

Modèle de diffusion

Fokker-Planck cinétique

PDE

Neuroscience

Asintotic behaviour

Long time behavior

Diffusion model

Bernstein Inequality

Kinetic Fokker-Planck

Résumé

Cette thèse est consacrée à l'étude des estimations asymptotiques pour les équations aux dérivées partielles (EDP) dans deux directions : l'analyse du comportement à long terme des solutions des EDP et l'étude de la limite lorsque le nombre d'individus inclus dans un système dynamique devient grand. Dans une première partie de la thèse, nous abordons la première de ces estimations. Pour cela, nous étudions successivement le problème des éléments propres en étendant le théorème de Krein-Rutman, puis la géométrie de la première valeur propre et enfin, ses implications pour le comportement asymptotique en temps long. En particulier, nous étendons la théorie de Doeblin-Harris pour les semi groupes non-conservateurs, en obtenant des résultats de couverture exponentielle avec un taux constructif. Nous appliquons ces résultats à quatre exemples : des modèles de diffusion, un modèle cinétique de Fokker-Planck, un modèle de sélection-mutation et un modèle de temps écoulé pour une population neuronale. Dans une seconde partie, nous étudions l'existence d'un résultat de concentration de type inégalité de Bernstein pour les modèles position-vitesse que nous appliquons ensuite à trois problèmes : à l'estimation des paramètres du modèle de FitzHugh-Nagumo, à l'estimation non paramétrique de coefficients de modèles généraux et, enfin, un travail exploratoire pour la construction d'un test statistique de la connectivité entre particules dans un système dynamique.

This thesis is devoted to the study of asymptotic estimates for partial differential equations (PDEs) in two directions, the analysis of the long time behavior of PDEs solutions and the study of the limit when the number of individuals included in a dynamical system becomes large. In a first part of the thesis, we address the first of these estimates. For this, we study successively the eigenelement problem by extending the Krein-Rutman theorem, then the geometry of the first eigenvalue and finally, its implications for the asymptotic behavior in long time. In particular, we extend the Doeblin-Harris theory for nonconservative semigroups, obtaining exponential covergence results with constructive rate. We apply these results to four examples: diffusion models, a kinetic Fokker-Planck model, a selection-mutation model and an elapsed time model for neuronal population. In a second part, we study the existence of a concentration result of the Bernstein inequality type for position-velocity models which we then apply to three problems: to the estimation of the parameters of the FitzHugh-Nagumo model, to the nonparametric estimation of general model coefficients and, finally, an exploratory work for the construction of a statistical test of the connectivity between particles in a dynamical system.