Equations cinétiques, inégalités fonctionnelles et distances dans l'espace des mesures de probabilité

Kinetic equations, functional inequalities, and distances in the space of probability measures

• Auteur / Autrice : Giovanni Brigati
• Direction : Jean Dolbeault
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 25/05/2023
• Etablissement(s) : Université Paris sciences et lettres en cotutelle avec Università degli studi (Pavie, Italie), Università degli studi di Milano - Bicocca, Istituto nazionale di alta matematica Francesco Severi (Italie (Rome)), Università degli Studi di Firenze
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale SDOSE (Paris)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de recherche en mathématiques de la décision (Paris) - CEntre de REcherches en MAthématiques de la DEcision / CEREMADE
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Paris Dauphine-PSL (1968-....)
• Jury : Président / Présidente : Maria J. Esteban
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jean Dolbeault, Maria J. Esteban, Ivan Gentil, Giuseppe Toscani, Clément Mouhot, Giuseppe Savaré, Matteo Bonforte, Michael Loss
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Ivan Gentil, Giuseppe Toscani, Clément Mouhot

Mots clés

Mots clés contrôlés

Markov, Processus de

Dirichlet, Formes de

Équations cinétiques

Mots clés libres

Equations cinétiques de Fokker-Planck

Inégalités de Gagliardo-Nirenberg

Inégalité log-arithmique de Sobolev

Dynamique de Langevin

Formes de Dirichlet

Hypocoercivité

Inégalité de Sobolev

Stabilité

Flot de chaleur

Fonctions log-concaves

Kinetic Fokker-Planck equations

Gagliardo-Nirenberg inequalities

Logarithmic Sobolev inequality

Langevin dynamics

Dirichlet forms

Hypocoercivity

Log-concave functions

Sobolev inequality

Heat flow

Stability

Résumé

Cette thèse est consacrée aux équations cinétiques de Fokker-Planck, à la stabilité des inégalités fonctionnelles et aux formes de Dirichlet non linéaires. Des taux de convergence vers l'équilibre sont estimés via un cadre analytique fonctionnel basé sur les normes faibles des solutions. L'équation de Vlasov-Fokker-Planck, avec variable de position confinée dans un tore, est analysée comme modèle de référence. La même stratégie est ensuite étendue à une large classe de modèles cinétiques. Nous considérons également des inégalités de Gagliardo--Nirenberg sur la sphère qui interpolent entre les inégalités de Poincaré et les inégalités de Sobolev. Nous prouvons des résultats constructifs de stabilité, dans la norme la plus forte possible, avec des exposants optimaux. Le terme de stabilité dégénère sur un sous-espace de dimension finie, ce qui nécessite des précautions supplémentaires. Notre technique combine des développements de Taylor, l'analyse harmonique et des méthodes paraboliques. Nous prouvons rigoureusement la convergence de la famille de Gagliardo-Nirenberg sur la sphère vers les inégalités de Beckner gaussiennes dans la limite de grandes dimensions. Ensuite, nous donnons des résultats constructifs de stabilité, en utilisant des diffusions non linéaires sur l'espace gaussien. Enfin, nous traitons l'inégalité de Sobolev logarithmique gaussienne comme cas limite. Nous trouvons des estimations explicites de stabilité pour des densités log-concaves ou à support compact par un argument de log-concavité déduit du flot d'Ornstein--Uhlenbeck et de la méthode du carré du champ. Nous contribuons à la théorie des formes de Dirichlet non-linéaires en étendant la propriété de contraction normale. La preuve adopte une nouvelle stratégie, basée sur l'approximation des fonctions Lipschitz réelles par des compositions répétées de fonctions linéaires par morceaux simples.

This thesis concerns kinetic Fokker-Planck equations, stability of functionals inequalities, and non linear Dirichlet forms. Constructive convergence rates to equilibrium for kinetic equations are computed via a functional analytic framework based on weak norms of solutions. The Vlasov-Fokker-Planck equation, with the space variable confined in a torus, is analysed asa benchmark. Then, the same strategy is generalised to a wide class of kinetic Fokker-Planck models. We also consider Gagliardo-Nirenberg inequalities on the sphere, interpolating between the Poincaré and the Sobolev inequalities. We prove constructive stability results, in the strongest possible norm, with sharp exponents in the stability term. The latter degenerates on a finite-dimensional subspace requiring additional care. Our technique combines Taylor expansions, harmonic analysis, and (non) linear diffusion flows. We rigorously prove convergence of the Gagliardo-Nirenberg family,for the dimension of the sphere approaching infinity, to the Gaussian Beckner inequalities. Then, we give constructive stability results for those, using non linear diffusion flows on the Gaussian space. Finally, we treat the Gaussian logarithmic Sobolev inequality as a limit case. We find explicit stability estimates for log-concave or compactly-supported densities, thanks to the interplay between log-concavity and the Ornstein-Uhlenbeck flow, improving on the carré du champ method.We contribute to the theory of nonlinear Dirichlet forms. We extend the normal contraction property to the non linear setting.The proof adopts a new strategy, based on the approximation of real Lipschitz functions with repeated compositions of elementary piece wise linear functions.