Stabilité des systèmes commutés contraints par des langages ω-réguliers

Stability of constrained switched systems driven by ω-regular languages

• Auteur / Autrice : Georges Aazan
• Direction : Antoine Girard, Laurent Fribourg, Luca Greco
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Automatique
• Date : Soutenance le 27/10/2023
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et technologies de l'information et de la communication (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Méthodes formelles (Gif-sur-Yvette, Essonne ; 2021-....)
• Partenaire(s) de recherche : référent : Faculté des sciences d'Orsay
• Partenaire(s) de recherche : graduate school : Université Paris-Saclay. Graduate School Sciences de l'ingénierie et des systèmes (2020-....)
• Jury : Président / Présidente : Elena Panteley
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Raphaël Jungers, Jamal Daafouz, Carolina Albea-Sánchez, Aneel Tanwani
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Raphaël Jungers, Jamal Daafouz

Mots clés

Mots clés contrôlés

Commande, Théorie de la

Systèmes dynamiques hybrides

Automates sur les mots infinis

Mots clés libres

Systèmes commutés

Observateur

Fonctions de Lyapunov

Automate de Büchi

Stabilité

Switched systems

Observer

Lyapunov functions

Büchi automaton

Stability

Résumé

Les systèmes commutés sont des systèmes dynamiques comportant plusieurs modes de fonctionnement, chaque mode étant décrit par une équation différentielle (temps continu) ou une équation aux différences (temps discret). Le mode de fonctionnement actif est déterminé à tout moment par un signal de commutation. Les systèmes commutés sont très utiles en pratique pour décrire précisément l’exécution d’algorithmes de contrôle sur des infrastructures informatiques distribuées et ainsi pour prendre en compte les contraintes liées à l’utilisation de ressources informatiques et de communication partagées. De plus, les systèmes commutés présentent des propriétés inattendues (un comportement instable peut par exemple résulter d’une commutation entre des modes de fonctionnement stables) qui justifient le développement d’outils théoriques spécifiques pour leur étude. Les premiers travaux sur la stabilité des systèmes commutés se sont concentrés sur la stabilité des signaux de commutation arbitraires ou satisfaisant certaines conditions de temps de séjour (minimum ou moyen). Plus récemment, plusieurs travaux se sont penchés sur le problème de la preuve de la stabilité de sous-ensembles de signaux de commutation. En général, de tels signaux de commutation sont supposés être générés par un automate à états finis et la stabilité est caractérisée soit en terme de rayon spectral conjoint contraint, soit `a l’aide de fonctions de Lyapunov. Cependant, certains sous-ensembles de signaux de commutation ne peuvent pas être spécifiés à l’aide d’automates à états finis classiques. Les exemples sont les signaux de commutation appartenant à certaines langues oméga-régulières qui sont définies par des formules de logique temporelle linéaire (LTL). Ils sont souvent utilisés pour spécifier les protocoles de planification et de communication. Un exemple représentatif de langage oméga-régulier est l’ensemble des signaux de commutation de type ”shuffle” : un signal de commutation est dit de type ”shuffle” si et seulement si tous les modes sont activés une infiniment souvent. Dans une étude préliminaire, la stabilité des systèmes commutés sous signaux de commutation de ce type de contrainte a été caractérisée au moyen des fonctions de Lyapunov. Cette thèse vise à développer des outils théoriques et numériques pour analyser la stabilité des systèmes commutés sous signaux de commutation de type ”shuffle” et plus généralement sous contraintes données par un langage oméga-régulier. Nous définissons une notion de rayon spectral joint ”shuffled” qui nous permet de quantifier la vitesse de convergence du système commuté sous des signaux de commutation de type ”shuffle”. Nous développons des algorithmes numériques basés sur les inégalités matricielles linéaires (IML) et des techniques théoriques des automates pour calculer des approximations du rayon spectral joint ”shuffled”. Dans la deuxième partie de la thèse, nous étendons ces résultats à des classes plus générales de signaux de commutation tels que ceux spécifiés par les langages oméga-réguliers. Ces langages peuvent toujours être caractérisés par des automates de Büchi. Enfin, nous présenterons une conception d’observateur pour systèmes commutés basée sur les automates de Büchi et les séquences reconstructibles, c’est-à-dire des séquences permettant d’estimer l’état du système. Cette conception consiste en une application de nos résultats théoriques.

Switched systems are dynamical systems with several operating modes, each mode being described by a differential (continuous time) or difference (discrete time) equation. At all times, the active operating mode is determined by a switching signal. Switched systems are very useful in practice for accurately describing the execution of control algorithms on distributed computing infrastructures and thus for taking into account the constraints linked to the use of shared computing and communication resources. Furthermore, switched systems have unexpected properties (unstable behavior can for example result from switching between stable operating modes) that justify the development of specific theoretical tools for their study. Early work on stability of switched systems has focused on stability for switching signals that are arbitrary or that satisfy some (minimum or average) dwell-time condition. More recently, several works have considered the problem of proving stability for subsets of switching signals. In general, such switching signals are assumed to be generated by some finite state automaton and stability is characterized either in term of constrained joint spectral radius or using Lyapunov functions. However, there are some subsets of switching signals that cannot be specified using classical finite state automata. Examples are switching signals belonging to some omega-regular languages e.g. defined by Linear Temporal Logic (LTL) formulas, which are often used to specify scheduling and communication protocols. A representative example of omega-regular language is the set of shuffled switching signals: a switching signal is shuffled if and only if all the modes are activated infinitely often. In a preliminary study, the stability of switched systems under shuffled switching signals was characterized by means of Lyapunov functions. This thesis aims at developing theoretical and numerical tools to analyze the stability of switched systems under shuffled switching signals and more generally under constraints given by an omega-regular language. We define a notion of shuffled joint spectral radius that allows us to quantify the speed of convergence of the switched system under shuffled switching signals. We develop numerical algorithms based on Linear Matrix Inequalities (LMIs) and automata theoretic techniques to compute approximations of the shuffled joint spectral radius. In the second part of the thesis, we extend these results to more general classes of switching signals such as those specified by omega-regular languages. These languages can always be characterized by Büchi automata. Finally, we will present an observer design for switched systems based on the Büchi automata and reconstructible sequences, i.e. sequences allowing to estimate the state of the system. This design consists of an application of our theoretical results.