Prolongement unique pour des opérateurs d'onde et de Schrödinger et applications à la théorie du contrôle

Unique continuation for wave and Schrödinger operators and applications to control theory

• Auteur / Autrice : Spyridon Filippas
• Direction : Matthieu Léautaud, Camille Laurent
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 20/12/2023
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
• Partenaire(s) de recherche : référent : Faculté des sciences d'Orsay
• Partenaire(s) de recherche : graduate school : Université Paris-Saclay. Graduate School Mathématiques (2020-....)
• Jury : Président / Présidente : Nicolas Burq
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : David Dos Santos Ferreira, Sylvain Ervedoza, Luc Robbiano, Lucie Coline Baudouin, Lauri Oksanen
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : David Dos Santos Ferreira, Sylvain Ervedoza

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations d'onde

Analyse microlocale

Schrödinger, Équation de

Équations différentielles hyperboliques

Mots clés libres

Prolongement unique

Inégalités de Carleman

Théorie du contrôle

Équations d'onde

Équations de Schrödinger

Unique continuation

Carleman inequalities

Control theory

Wave equations

Schrödinger equations

Résumé

La problématique du prolongement unique consiste à retrouver toute l'onde à partir d'une observation partielle et a des applications à la théorie du contrôle. Dans une première partie de cette thèse nous nous intéressons à des propriétés de prolongement unique quantitatif pour des ondes dans un milieu singulier. Nous démontrons un résultat quantitatif de stabilité logarithmique pour des opérateurs d'onde dont la métrique présente une discontinuité à travers une interface. Nous ne faisons aucune hypothèse sur le signe du saut ou sur la géométrie de l'interface. L'ingrédient clef de notre preuve est une inégalité de Carleman locale près de l'interface. Par un argument de propagation nous en déduisons une estimée de stabilité globale. Nous montrons ensuite que l'estimée obtenue est optimale dans certaines géométries. Pour ce faire, nous construisons pour un opérateur elliptique à coefficients discontinus à travers une interface, des fonctions propres se concentrant exponentiellement près de l'interface. Dans une deuxième partie nous démontrons des résultats de prolongement unique locaux et globaux sous des hypothèses géométriques minimales pour des opérateurs de Schrödinger à coefficients d'ordre inférieur Gevrey 2 par rapport au temps et bornés en espace. On relaxe ainsi pour ces opérateurs l'hypothèse d'analyticité en temps du théorème de Tataru-Hörmander-Robbiano-Zuily.

The problem of unique continuation consists in recovering the whole wave from a partial observation and has applications to control theory. In the first part of this thesis we investigate quantitative unique continuation properties for waves in a singular medium. We prove a quantitative logarithmic stability result for wave operators whose metric exhibits a jump discontinuity across an interface. We make no assumptions about the sign of the jump or the geometry of the interface. The key ingredient of our proof is a local Carleman inequality near the interface. Using a propagation argument, we derive a global stability estimate. We then show that the estimate obtained is optimal in certain geometries. To this end, we construct eigenfunctions for an elliptic operator with discontinuous coefficients across an interface, concentrating exponentially near the interface. In the second part, we prove local and global unique continuation results under minimal geometric assumptions for Schrödinger operators with Gevrey 2 lower order coefficients with respect to time and bounded in space. This relaxes the time analyticity assumption of the Tataru-Hörmander-Robbiano-Zuily theorem for these operators.