Techniques d'inférence topologique pour fonctions périodiques avec variation de phase

Topological techniques for inference on periodic functions with phase variation

• Auteur / Autrice : Wojciech Reise
• Direction : Frédéric Chazal, Bertrand Michel
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 06/12/2023
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
• Partenaire(s) de recherche : référent : Faculté des sciences d'Orsay
• Partenaire(s) de recherche : graduate school : Université Paris-Saclay. Graduate School Mathématiques (2020-....)
• Jury : Président / Présidente : Mathilde Mougeot
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Bharath K. Sriperumbudur, Wolfgang Polonik, Anthéa Monod, Paul Doukhan, Laurent Oudre
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Bharath K. Sriperumbudur, Wolfgang Polonik

Mots clés

Mots clés contrôlés

Analyse des données

Statistique non paramétrique

Mots clés libres

Variation de phase

Statistiques non-paramétriques

Analyse topologique des données

Odométrie

Phase variation

Non-parametric statistics

Topological data analysis

Odometry

Résumé

Les outils statistiques modernes permettent de comparer des données temporelles avec variation de phase, souvent en les alignant. Nous proposons des techniques pour l'analyse d'une observation qui est composée de plusieurs périodes d'une fonction périodique, avec variation de phase. Ce cadre est motivé par un problème de positionnement de voiture. D'abord, nous montrons que des constructions de l'Analyse Topologique des Données contiennent des informations sur la période et le nombre de ses occurrences. Dans une première contribution, nous proposons un descripteur d'une période de la fonction, construit à partir d'un signal bruité contenant plusieurs périodes de celles-ci. On montre que ce descripteur converge, quand le nombre de périodes observées augmente. Dans une seconde contribution, on estime le nombre de périodes que contient une observation. On montre que l'estimation est correcte pour une classe de fonctions assez large, généralisant ainsi un estimateur basé sur les lignes de niveau. De notre méthode découle également une segmentation du signal en périodes qui utilise les extrema locaux. Finalement, nous appliquons cette dernière au signal magnétique enregistré dans une voiture en mouvement. Affecté par l'empreinte magnétique du pneu, ce signal contient l'information sur la position angulaire d'une des roues et, par conséquent, sur la dynamique du véhicule. Nos expériences montrent que la méthode de segmentation proposée permet d'estimer la distance parcourue par le véhicule. De plus, elle localise les révolutions de manière précise, ouvrant ainsi la voie pour une méthode d'odométrie magnétique simple et accessible.

Modern statistical techniques allow to compare or summarize temporal data with phase variation, often by aligning the trajectories. We propose techniques to analyse a single observation of a periodic function with phase variations, a setting motivated by a car positioning problem. We show that tools from topological data analysis can capture information about both the periodic function and the number of observed periods, quantifying the repetitive structure. In a first contribution, we propose a descriptor of a single period constructed from a noisy observation of several periods. We prove that it converges as the number of periods in the observation increases. In a second contribution, we estimate the number of periods contained in the observation. Based on similar topological tools, we prove that our estimator is correct for a wide class of functions, generalizing the zero-crossings estimator. We also give a method, guided by the topological estimator, to segment the signal into periods using local extrema. Finally, we apply this method to the magnetic signal recorded in a moving car. Composed of a tyres' magnetic fingerprint, the signal reflects the angular position of the wheel and hence the dynamics of the vehicle. Preliminary experiments show that the proposed segmentation method allows to estimate the distance travelled by the vehicle. More interestingly, it locates the revolutions of that wheel precisely, paving a way to straightforward and accessible odometry.