Faisceaux stables sur variétés hyper-Kähleriennes

Stable sheaves on hyper-Kähler manifolds

• Auteur / Autrice : Alessio Bottini
• Direction : Emanuele Macrì, Antonio Rapagnetta
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Soutenance le 06/11/2023
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay en cotutelle avec Università degli studi di Roma "Tor Vergata" (1972-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....) - Universita degli studi di Roma "Tor Vergata". Dipartimento di matematica
• Partenaire(s) de recherche : Référent : Faculté des sciences d'Orsay
• Partenaire(s) de recherche : graduate school : Université Paris-Saclay. Graduate School Mathématiques (2020-….)
• Jury : Président / Présidente : Claire Voisin
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Eyal Markman, Gianluca Pacienza, Anne Moreau, Giuseppe Pareschi, Giulia Saccà
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Eyal Markman, Gianluca Pacienza

Mots clés

Mots clés contrôlés

Catégories dérivées (mathématiques)

Faisceaux, Théorie des

Espaces de modules

Surfaces K3

Géométrie algébrique

Mots clés libres

Géométrie algébrique

Variétés hyper-Kähleriennes

Espaces de modules

Faisceaux Cohérent

Catégories dérivées

Algebraic Geometry

Hyper-Kähler manifolds

Moduli spaces

Coherent sheaves

Derived Categories

Résumé

Dans cette thèse, on étudie les faisceaux sur les variétés hyper-Kähleriennes, avec objectif final de résoudre une conjecture de longue date due à Markman et O'Grady. Plus précisément, on démontre qu'on peut réaliser OG10 en tant qu'espace de modules de fibrés stables sur une variété hyper-Kählerienne de dimension quatre. On commence par étudier les faisceaux stables et, de manière plus générale, les complexes stables sur les surfaces K3. Il est admis, grâce au travail de nombreuses personnes, que les espaces de modules de tels complexes stables sont des variétés projectives hyper-Kähleriennes. Dans le premier chapitre, on propose une nouvelle démonstration conceptuelle de ce fait, en exploitant les puissantes techniques de wall-crossing rendues possibles par la théorie des conditions de stabilité de Bridgeland.Le reste de la thèse est consacré aux faisceaux sur les variétés hyper-Kähleriennes de dimensions supérieures. Il s'agit d'une théorie relativement récente, qui a débuté avec le travail révolutionnaire de Taelman sur l'algèbre LLV et les travaux d'O'Grady sur les faisceaux modulaires. Le deuxième chapitre de cette thèse est consacré à une revue des principales propriétés de la cohomologie d'une variété hyper-Kählerienne, en mettant l'accent sur le travail de Taelman.La théorie a ensuite été développée indépendamment par Beckmann et Markman, qui ont introduit une classe de faisceaux qu'on appelle maintenant atomiques. On passe en revue leurs travaux, ainsi que ceux d'O'Grady, dans le chapitre trois. Dans le reste de la thèse, on considère deux nouveaux exemples de faisceaux atomiques stables sur une variété hyper-Kählerienne de dimension quatre. Ils sont obtenus en appliquant des équivalences dérivées aux surfaces lagrangiennes. Dans les deux cas, leurs espaces de modules sont des variétés symplectiques de dimension dix (éventuellement singulières) et sont birationnels à OG10. Dans l'un de ces cas, on est en mesure de prouver la régularité et donc d'obtenir une variété hyper-Kählerienne de type OG10 en tant qu'espace de modules de faisceaux atomiques stables.

In this thesis we study sheaves on hyper-Kähler manifolds, with final goal to solve a long standing conjecture due to Markman and O'Grady. Namely, we show that we can realize OG10 as a moduli space of stable bundles on a hyper-Kähler fourfold. We begin with stable sheaves and, more in general, stable complexes on K3 surfaces. It is a celebrated result, due to the work of many people, that moduli spaces parametrizing such stable complexes are projective hyper-Kähler manifolds. In the first chapter we provide a new conceptual proof of this fact, exploiting the powerful wall-crossing techniques made possible by the theory of Bridgeland stability conditions.The rest of the thesis is devoted to sheaves on higher dimensional hyper-Kähler manifolds. This is a relatively recent theory, which started with the breakthrough work by Taelman on the LLV algebra, and O'Grady's works on modular sheaves. The second chapter of this thesis is devoted to a review of the main properties of the cohomology of a hyper-Kähler manifold, especially on Taelman's work.The theory was later developed independently by Beckmann and Markman, who introduced a class of sheaves which we now call atomic. We review their works, together with O'Grady's, in chapter three. In the rest of the thesis we consider two new examples of stable atomic sheaves on a hyper-Kähler fourfold. They are obtained by applying derived equivalences to Lagrangian surfaces. In both cases, their moduli spaces are ten dimensional (possibly singular) symplectic varieties, and are birational to OG10. In one of these cases, we are able to prove smoothness and therefore obtain a hyper-Kähler manifold of type OG10 as a moduli space of stable atomic sheaves.