Thèse soutenue

Deux approches complémentaires de la persistance multiparamétrique : décompositions en intervalles et fonctions constructibles

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Auteur / Autrice : Vadim Lebovici
Direction : Steve OudotFrançois Petit
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques aux interfaces
Date : Soutenance le 12/09/2023
Etablissement(s) : université Paris-Saclay
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
référent : Faculté des sciences d'Orsay
graduate school : Université Paris-Saclay. Graduate School Mathématiques (2020-....)
Jury : Président / Présidente : Grégory Ginot
Examinateurs / Examinatrices : Steve Oudot, François Petit, Ulrich Bauer, William Crawley-Boevey, Bernhard Keller, Frédéric Chazal
Rapporteurs / Rapporteuses : Ulrich Bauer, William Crawley-Boevey

Résumé

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Les modules de persistance multiparamétriques n'admettent, contrairement à leurs analogues uniparamétriques largement utilisés en analyse de données, pas de codes-barres, et plus généralement, aucune description complète et facilement manipulable numériquement. Cette thèse propose de contourner cet obstacle par deux approches. La première consiste à identifier des sous-classes de tels modules qui sont effectivement décrites par des multi-ensembles d'intervalles à plusieurs paramètres. Gardant à l'esprit la nécessité de tester algorithmiquement l'appartenance à ces sous-classes, nous étudions l'existence de celles admettant une caractérisation locale, c'est-à-dire celles dont l'appartenance peut être testée en observant uniquement les restrictions des modules à des sous-ensembles finis de l'espace des paramètres. Nous montrons que si la sous-classe des modules décomposables en intervalles n'admet pas une telle caractérisation locale, la classe des modules décomposables en rectangles en admet une, et qu'elle est, dans un sens précis, une classe maximale ayant cette propriété. La deuxième approche consiste à construire des invariants riches et facilement calculables des modules de persistance à plusieurs paramètres sous forme de fonctions constructibles. Cette approche contourne complètement la construction des modules via des calculs de caractéristique d'Euler plutôt que d'homologie. Nous introduisons des transformées intégrales de fonctions constructibles combinant mesure de Lebesgue et intégration par rapport à la caractéristique d'Euler. On mène une étude systématique de ces transformées, prouvant des résultats de régularité, d'injectivité, de stabilité et statistiques. On prouve des formules d'indices permettant de calculer l'espérance de ces transformées dans le contexte de la persistance des sous-niveaux de champs gaussiens aléatoires. On montre enfin l'efficacité de ces outils en analyse de données, en fournissant de nombreux exemples de l'information topologique et géométrique qu'ils capturent.