Suites entières, séries algébriques et opérateurs différentiels

Integer sequences, differential operators and algebraic power series

• Auteur / Autrice : Sergey Yurkevich
• Direction : Alin Bostan, Herwig Hauser
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques aux interfaces
• Date : Soutenance le 06/07/2023
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay en cotutelle avec Universität Wien
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut national de recherche en informatique et en automatique (France). Unité de recherche (Saclay, Ile-de-France)
• Partenaire(s) de recherche : référent : Université de Versailles-Saint-Quentin-en-Yvelines (1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : graduate school : Université Paris-Saclay. Graduate School Mathématiques (2020-....)
• Jury : Président / Présidente : Andreas Čap
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Alin Bostan, Herwig Hauser, Gilles Villard, Wadim Zudilin, Stéphane Fischler
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Gilles Villard, Wadim Zudilin

Mots clés

Mots clés contrôlés

Fonctions algébriques

Séries hypergéométriques

Calcul formel

Suites (mathématiques)

Équations différentielles

Théorie des nombres

Mots clés libres

Équations différentielles

Calcul formel

Théorie des nombres

Differential equations

Computer algebra

Number theory

Résumé

Cette thèse aborde des problèmes et desquestions mathématiques et algorithmiques liés auxsuites d'entiers, aux séries algébriques et auxopérateurs différentiels. Elle est principalementcomposée de certains des articles que l'auteur a (co-)écrit pendant ses études de doctorat. Explicitement,la thèse traite d'abord d'une famille de suiteshypergéométriques qui peuvent être représentéescomme des diagonales, de la fonction génératricedes nombres de Dubrovin-Yang-Zagier, et d'unenouvelle formule pour le volume réduit den'importe quelle projection du tore de Clifford. Enoutre, la thèse présente trois nouveaux algorithmesqui résolvent les problèmes suivants de manièreplus efficace qu'auparavant : le calcul du N-ièmeterme d'une suite q-holonome, le calcul de la Nième puissance d'une matrice polynomiale, et ladécision si un polyèdre donné a la propriété deRupert. Enfin, la thèse répond également aux troisquestions suivantes, explicitement énoncées maisprécédemment ouvertes : la suite de Fibonacci(Fn)n≥0 est-elle une suite de termes constants ?(Non), Le q-analogue du théorème de Pólya est-ilvrai ? (Pas en général mais pour certains q ∈ C),L'icosidodécaèdre tronqué a-t-il la propriété deRupert ? (Oui). Le dernier chapitre contient une listede 60 questions ouvertes, problèmes et conjecturesliés au sujet de la thèse.Dans le chapitre 8, nous fournissons uneclassification des termes constants dans le cas deséquences satisfaisant des récurrences linéaires àcoefficients constants. Le chapitre 9 est consacréau problème de Rupert et, finalement, le chapitreest une collection de problèmes ouverts et deconjectures liés aux sujets de la thèse. Plusprécisément, le deuxième chapitre de la thèse estconsacré à l'étude des diagonales d'une famille defonctions algébriques multivariées. Explicitement,nous prouvons que la diagonale de tout produitfini de fonctions algébriques de la forme (1-x1-...-xn)^R, pour R rationnel, est une fonctionhypergéométrique généralisée, et nousfournissons une description explicite de sesparamètres. Le cas particulier (1-x-y)^R/(1- x-y-z)correspond à l'identité principale d'Abdelaziz,Koutschan et Maillard dans [1, §3.2]. Le troisièmechapitre traite de la tâche consistant à prouverqu'une fonction D-finie donnée est algébrique.Nous explorons certaines des méthodes connuessur l'exemple très explicite de deux fonctionsgénératrices des nombres dits de Dubrovin-YangZagier. Le chapitre suivant traite de l'unicité de lasolution du problème dit de Canham qui prédit laforme des biomembranes. Le chapitre 5 étendd'abord l'algorithme de Strassen au calcul du qfactoriel de N, puis l'algorithme de Chudnovskysau calcul du N-ième terme de n'importe quelleséquence q-holonomique. Dans le chapitre 6,nous montrons qu'il est possible de battre lapuissance binaire, par un algorithme dont lacomplexité est purement linéaire en N, même enl'absence de FFT. Le chapitre suivant répond à unequestion posée par Michael Aissen en 1979 sur leqanalogue d'un théorème classique de GeorgePólya (1922) sur l'algébricité des diagonales(généralisées) des séries de puissancesrationnelles bivariées.

This dissertation addresses mathematicaland algorithmic problems and questions connectedwith integer sequences, algebraic series anddifferential operators. It is mainly composed ofsome of the articles the author (co-)wrote during hisPhD studies. Explicitly, the thesis deals first with afamily of hypergeometric sequences which can berepresented as diagonals, the generating function ofthe Dubrovin-Yang-Zagier numbers, and a newformula for the reduced volume of any projection ofthe Clifford torus. Further, the dissertation presentsthree new algorithms solving the followingproblems more efficiently than previously possible:The computation of the N-th term of a q-holonomicsequence, the computation of the N-th power of apolynomial matrix, and the decision whether a givenpolyhedron has Rupert's property. Finally, the thesisalso answers the following three explicitly stated butpreviously open questions: Is the Fibonaccisequence (Fn)n≥0 a constant term sequence? (No),Does the q-analog of Pólya's Theorem hold? (Not ingeneral but for some q ∈ C), Does the Truncatedicosidodecahedron have Rupert's property? (Yes).The last chapter contains a list of 60 open questions,problems and conjectures related to the topic of thedissertation.More precisely, the second chapter of the thesis isdevoted to the study of diagonals of a family ofmultivariate algebraic functions. Explicitly, weprove that the diagonal of any finite product ofalgebraic functions of the form (1−x1−…−xn)^R,for R rational, is a generalized hypergeometricfunction, and we provide an explicit description ofits parameters. The particular case (1−x−y)^R/(1−x−y−z) corresponds to the main identity ofAbdelaziz, Koutschan and Maillard in [1, §3.2]. Thethird chapter deals with the task of proving that agiven D-finite function is algebraic. We exploresome of the known methods on the very explicitexample of two generating functions of the socalled Dubrovin-Yang-Zagier numbers. The nextchapter deals with the uniqueness of the solutionto the so-called Canham's problem which predictsthe shape of biomembranes. Chapter 5 firstextends Strassen's algorithm to the computationof the q-factorial of N, then Chudnovskys'algorithm to the computation of the N-th term ofany q-holonomic sequence. In chapter 6 we showthat it is possible to beat binary powering, by analgorithm whose complexity is purely linear in N,even in absence of FFT. The next chapter answersa question posed by Michael Aissen in 1979 aboutthe qanalogue of a classical theorem of GeorgePólya (1922) on the algebraicity of (generalized)diagonals of bivariate rational power series. Inchapter 8, we provide a classification of constantterms in the case of sequences satisfying linearrecurrences with constant coefficients. Chapter 9 isdevoted to Rupert's problem and, finally, chapteris a collection of open problems and conjecturesconnected to the thesis' topics.