Algèbres de Brauer des groupes de réflexions complexes

Brauer algebras of complex reflection groups

• Auteur / Autrice : Ilias Andreou
• Direction : Maria Chlouveraki, Ivan Marin
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Soutenance le 29/06/2023
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques de Versailles
• Partenaire(s) de recherche : Référent : Université de Versailles-Saint-Quentin-en-Yvelines (1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : graduate school : Université Paris-Saclay. Graduate School Mathématiques (2020-….)
• Jury : Président / Présidente : Olivier Schiffmann
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Olivier Dudas, Zhi Chen, Maud de Visscher, Daniel Juteau, Gunter Malle
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Olivier Dudas, Zhi Chen

Mots clés

Mots clés contrôlés

Algèbres non commutatives

Groupes de réflexions (mathématiques)

Représentations d'algèbres

Mots clés libres

Algèbres de Brauer

Groupes de réflexions complexes

Théorie des représentations

Brauer algebras

Complex reflection groups

Representation theory

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions la théorie des représentations de l'algèbre de Brauer associée à un groupe de réflexions complexe, définie par Chen en 2011. Nous démontrons qu'elle est semisimple et donnons une construction pour ses modules simples pour des valeurs génériques des paramètres, généralisant des résultats de Cohen, Frenk, Wales et Marin. Nous appliquons ces résultats aux cas de tous les groupes de réflexions complexes irréductibles : pour les groupes de la série infinie, nous obtenons une formule pour la dimension de l'algèbre de Brauer correspondante, et pour tous les groupes de réflexions complexes exceptionnels, nous calculons la dimension de l'algèbre correspondante explicitement, en utilisant des méthodes computationelles. Nous obtenons également une base uniformément définie pour l'algèbre de Brauer de tout groupe de réflexions complexe, définie sur un corps. Enfin, nous déterminons pour quels groupes de réflexions complexes l'algèbre de Brauer correspondante est un module libre sur son anneau de définition.

In this thesis, we study the representation theory of the Brauer algebra associated to a complex reflection group, as defined by Chen in 2011. We prove that it is semisimple and provide a construction for its simple modules for generic values of the parameters, generalizing results of Cohen, Frenk, Wales and Marin. We apply these results to the cases of all irreducible complex reflection groups: for the groups in the infinite series, we obtain a numerical formula for the dimension of the corresponding Brauer algebra, and for all exceptional complex reflection groups, we compute the dimension of the corresponding Brauer algebra explicitely, using computational methods. We also obtain a uniformly defined basis for the Brauer algebra of any complex reflection group, defined over a field. Finally, we determine for which complex reflection groups the corresponding Brauer algebra is a free module over its ring of definition.