Thèse soutenue

Espaces de Möbius et géométrie à grande échelle

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Auteur / Autrice : Georg Grützner
Direction : Pierre Pansu
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
Date : Soutenance le 17/05/2023
Etablissement(s) : université Paris-Saclay
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....) - Institut national de recherche en informatique et en automatique (France). Unité de recherche (Saclay, Ile-de-France)
référent : Faculté des sciences d'Orsay
graduate school : Université Paris-Saclay. Graduate School Mathématiques (2020-....)
Equipe de recherche : Datashape - Understanding the shape of data
Jury : Président / Présidente : Cyril Houdayer
Examinateurs / Examinatrices : Mikael De La Salle, John M. Mackay, Cornelia Drutu, Anna Erschler
Rapporteurs / Rapporteuses : Mikael De La Salle, John M. Mackay

Résumé

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Ce manuscrit développe la géométrie et l'analyse des espaces de Möbius dans les deux directions suivantes: Les espaces de Hilbert attachés aux espaces de Möbius, et la géométrie de Möbius à grande échelle. En ce qui concerne le premier point ci-dessus, nous construisons des espaces de Sobolev H(d,α) sur les (1/2 + α/Q)-densités associés avec une structure de Möbius M de dimension Q. Nous montrons que M a une constante d'Ahlfors-David uniforme. Nous utilisons cette observation pour montrer que les normes sur H(d,α) sont comparables sur une grande classe de fonctions pour tous (0 < α < Q/2). Il s'agit d'un résultat partiel d'un programme visant à construire et étudier des représentations uniformément bornées pour tous les groupes hyperboliques. Dans la deuxième partie, nous développons la géométrie de Möbius asymptotique comme outil pour passer de la théorie discrète à la théorie continue. Nous montrons que sous de telles applications, certaines notions de dimension à grande échelle augmentent. Cela signifie, par exemple, qu'un espace CAT(0) qui admet un plongement asymptotiquement Möbius dans un espace hyperbolique doit lui-même être hyperbolique. Nous construisons également un plongement asymptotiquement Möbius d'un groupe de Heisenberg de dimension infinie dans un espace de Hilbert.