Une approche probabiliste des théories conformes des champs de Toda
Auteur / Autrice : | Baptiste Cercle |
Direction : | Colin Guillarmou, Vincent Vargas |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Mathématiques fondamentales |
Date : | Soutenance le 30/06/2023 |
Etablissement(s) : | université Paris-Saclay |
Ecole(s) doctorale(s) : | École doctorale de mathématiques Hadamard |
Partenaire(s) de recherche : | Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....) |
référent : Faculté des sciences d'Orsay | |
graduate school : Université Paris-Saclay. Graduate School Mathématiques (2020-....) | |
Jury : | Président / Présidente : Christophe Garban |
Examinateurs / Examinatrices : Eveliina Peltola, Xin Sun, Juhan Aru, Antti Kupiainen, Jean-François Le Gall | |
Rapporteurs / Rapporteuses : Eveliina Peltola, Xin Sun |
Mots clés
Mots clés contrôlés
Résumé
Les théories de Toda forment une famille de théories quantiques des champs en dimension deux introduites dans la littérature physique en tant que modèles possédant, au-delà de la symétrie conforme, une symétrie étendue qui est codée par des W-algèbres.L'objet de cette thèse est de proposer un cadre mathématique dédié à l'étude de ces théories. En nous appuyant sur des objets probabilistes fondamentaux -- le champ libre gaussien et le chaos multiplicatif gaussien -- nous pourrons ainsi implémenter de manière rigoureuse des méthodes issues de la physique et par là même calculer certaines quantités cruciales dans la compréhension de ces théories : les fonctions de corrélation.Pour ce faire nous exploiterons dans un premier temps les symétries de ces modèles en montrant que les fonctions de corrélation définies de manière probabiliste sont soumises à des contraintes appelées identités de Ward. L'existence de telles contraintes nous permettra de donner une expression explicite pour une famille de fonctions de corrélation fondamentales -- les constantes de structure -- et de décrire une procédure récursive -- le bootstrap conforme -- permettant de calculer d'autres fonctions de corrélation à partir de celles-ci.Au cours de cette démarche nous mettrons en évidence certains liens inattendus entre des concepts issus de la théorie des probabilités et d'autres provenant de la théorie conforme des champs, notamment en décrivant une décomposition de chemin brownien qui nous permettra le calcul de coefficients de réflection des théories de Toda en termes probabilistes.