Une approche probabiliste des théories conformes des champs de Toda

A probabilistic approach to Toda conformal field theories

• Auteur / Autrice : Baptiste Cercle
• Direction : Colin Guillarmou, Vincent Vargas
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Soutenance le 30/06/2023
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
• Partenaire(s) de recherche : référent : Faculté des sciences d'Orsay
• Partenaire(s) de recherche : graduate school : Université Paris-Saclay. Graduate School Mathématiques (2020-....)
• Jury : Président / Présidente : Christophe Garban
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Eveliina Peltola, Xin Sun, Juhan Aru, Antti Kupiainen, Jean-François Le Gall
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Eveliina Peltola, Xin Sun

Mots clés

Mots clés contrôlés

Champ libre gaussien

Groupes de réflexions (mathématiques)

Mouvement brownien, Processus de

Lie, Algèbres de

Géométrie aléatoire

Théorie conforme des champs

Mots clés libres

Théorie conforme des champs

Chaos multiplicatif gaussien

Champs logarithmiquement corrélés

Géométrie aléatoire

W-Algèbres

Gaussian Multiplicative Chaos

Conformal Field Theory

Log-Correlated fields

Random Geometry

W-Algebras

Résumé

Les théories de Toda forment une famille de théories quantiques des champs en dimension deux introduites dans la littérature physique en tant que modèles possédant, au-delà de la symétrie conforme, une symétrie étendue qui est codée par des W-algèbres.L'objet de cette thèse est de proposer un cadre mathématique dédié à l'étude de ces théories. En nous appuyant sur des objets probabilistes fondamentaux -- le champ libre gaussien et le chaos multiplicatif gaussien -- nous pourrons ainsi implémenter de manière rigoureuse des méthodes issues de la physique et par là même calculer certaines quantités cruciales dans la compréhension de ces théories : les fonctions de corrélation.Pour ce faire nous exploiterons dans un premier temps les symétries de ces modèles en montrant que les fonctions de corrélation définies de manière probabiliste sont soumises à des contraintes appelées identités de Ward. L'existence de telles contraintes nous permettra de donner une expression explicite pour une famille de fonctions de corrélation fondamentales -- les constantes de structure -- et de décrire une procédure récursive -- le bootstrap conforme -- permettant de calculer d'autres fonctions de corrélation à partir de celles-ci.Au cours de cette démarche nous mettrons en évidence certains liens inattendus entre des concepts issus de la théorie des probabilités et d'autres provenant de la théorie conforme des champs, notamment en décrivant une décomposition de chemin brownien qui nous permettra le calcul de coefficients de réflection des théories de Toda en termes probabilistes.

This thesis is dedicated to the study of a family of two-dimensional quantum field theories called Toda conformal field theories. Initially introduced in the physics literature, we propose here a mathematical definition of such models based on two key probabilistic objects: Gaussian free fields and Gaussian multiplicative chaos.Within this probabilistic framework we recover properties expected in the physics and related to the enhanced symmetries enjoyed by Toda conformal field theories, which in turn leads to the computation of a family of correlation functions ---one of the main quantities of interest.The computation of these correlation functions is based on the exploitation of the symmetries ---encoded by W-algebras--- of these models in that they provide constraints on the correlation functions. These constraints are the Ward identities, whose existence will be the starting point to the derivation of a family of structure constants, that represent fundamental correlation functions. A recursive procedure known as conformal bootstrap then allows to compute other correlation functions based on the expression of these structure constants.Along the implementation of this program we will shed light on some unexpected interplays between probability theory and conformal field theory. One instance of such connections is the probabilistic description of Toda reflection coefficients, based on a generalized Brownian path decomposition.