Influence of the fractal structure of the trapped set on the scattering resonances

Titre traduit

Influence de la structure fractale de l'ensemble capté sur les résonances de scattering
Résumé

Dans cette thèse, nous nous intéressons aux résonances dites de scattering, qui jouent un rôle fondamental dans l'étude de l'équation des ondes à l'extérieur d'obstacles. Nous tâcherons de comprendre certains aspects de la répartition de ces résonances, plus particulièrement en dimension d = 2 et l'on s'intéresse à des obstacles à frontière lisse, strictement convexes qui vérifient une condition de non-eclipse. Nous établissons l'existence d'une région sans résonance sous l'axe réel - on parle de trou spectral - et améliorons des bornes supérieures pour le comptage de résonances dans des boîtes. Ces résultats font intervenir de façon cruciale la structure fractale de l'ensemble capté du flot du billard. Ces travaux sont dans la lignée des récentes avancées obtenues dans l'étude des résonances des surfaces hyperboliques convexes co-compactes. L'outil fondamental pour l'obtention du trou spectral est un Principe d'Incertitude Fractal, récemment développé par S. Dyatlov et J. Bourgain, notamment. Nous obtenons aussi des résultats similaires dans l'étude des résonances de l'opérateur semiclassique -h²Δ + V où V est un potentiel lisse à support compact. En fait, l'étude du problème des obstacles se fait naturellement à haute fréquence et permet d'utiliser les outils de l'analyse semiclassique. Les méthodes utilisées dans le cas des obstacles se généralisent alors aux opérateurs semiclassiques -h²Δ + V grâce à deux articles de S. Nonnenmacher, J. Sjöstrand et M. Zworski.

mots clés

Résumé

In this thesis, we are interested in the study of the scattering resonances, which play a crucial role in the study of the wave equation outside obstacles. We aim at understanding some aspects of the distribution of these resonances, more particularly in dimension d=2 and for strictly convex obstacles with smooth boundary, satisfying a no-eclipse condition. We prove the existence of a band without resonance below the real axis - it is said that we have a spectral gap - and improve upper bounds for counting functions of resonances in boxes. These results involve the fractal structure of the trapped set of the billiard flow. These works follow the recent results obtained in the study of convex co-compact hyperbolic surfaces. The crucial tool in the proof of the spectral gap is a Fractal Uncertainty Principle, recently developed by S. Dyatlov and J. Bourgain, among others. We also prove similar results in the study of semiclassical scattering resonances for operators -h²Δ + V where V is a smooth compactly supported potential. In fact, the study of the obstacle problem is naturally turned into a high-frequency problem which allows to use the methods of semiclassical analysis. The strategy used in the case of the obstacles can be generalized to the semiclassical operators -h²Δ + V thanks to two papers of S. Nonnenmacher, J. Sjöstrand and M. Zworski.

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