Homologies des familles génératrices de sous-variétés legendriennes et espaces de modules d'escaliers de gradient

Generating family homologies of Legendrian submanifolds and moduli spaces of gradient staircases

• Auteur / Autrice : Cyril Falcon
• Direction : Frédéric Bourgeois
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Soutenance le 25/01/2023
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
• Partenaire(s) de recherche : référent : Faculté des sciences d'Orsay
• Partenaire(s) de recherche : graduate school : Université Paris-Saclay. Graduate School Mathématiques (2020-....)
• Jury : Président / Présidente : Claude Viterbo
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Alexandru Oancea, Lisa M. Traynor, Baptiste Chantraine, Urs Frauenfelder
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Alexandru Oancea, Lisa M. Traynor

Mots clés

Mots clés contrôlés

Espaces de modules

Fonctions génératrices

Sous-variétés (mathématiques)

Morse, Théorie de

Topologie symplectique et de contact

Mots clés libres

Topologie symplectique et de contact

Sous-variétés legendriennes

Théories de Morse-Bott-Cerf

Familles génératrices

Analyse des espaces de modules

Homologie

Symplectic and contact topology

Legendrian submanifolds

Morse-Bott-Cerf theories

Generating families

Moduli spaces analysis

Homology

Résumé

Pour pallier les difficultés techniques substantielles qui se posent dans l'utilisation pratique des familles génératrices pour explorer la diversité des sous-variétés legendriennes en topologie de contact, Henry et Rutherford proposent dans un article de 2013 une perturbation singulière du flot de gradient qui est utilisé pour définir l'homologie de la famille génératrice. Ils conjecturent alors que lorsqu'ils sont finis, les espaces de modules qui interviennent dans la définition de l'opérateur de bord de cette homologie sont en bijection avec certains espaces de modules de trajectoires brisées en escalier. Cette thèse réalise le premier pas vers une démonstration complète par compacité et recollement de cette conjecture. Il y est démontré que si certaines hypothèses géométriques et conditions de transversalité sont satisfaites, alors dans la limite adiabatique de Henry et Rutherford, les trajectoires de gradient authentiques « convergent », à extraction près, vers des chaînes d'escaliers de gradient.

Willing to overcome the substantial technical difficulties arising in the practical use of generating families to explore the diversity of Legendrian submanifolds in contact topology, Henry and Rutherford introduce in a 2013 paper a singular perturbation of the gradient flow, used to define the homology of the generating family. They conjecture that when finite, the moduli spaces used to define the boundary operator of this homology are in one-to-one correspondence with some moduli spaces of staircase trajectories. This thesis takes the first step towards a complete proof by compactness-gluing of this conjecture. It is shown that provided some geometric assumptions and transversality conditions are satisfied, then in the Henry and Rutherford adiabatic limit, genuine gradient trajectories "accumulate" on gradient staircases chains.