Thèse soutenue

Jeux concurrents à deux joueurs antagonistes sur les graphes

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Auteur / Autrice : Benjamin Bordais
Direction : Patricia Bouyer-DecitreStéphane Le Roux
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Informatique
Date : Soutenance le 12/10/2023
Etablissement(s) : université Paris-Saclay
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et technologies de l'information et de la communication (Orsay, Essonne ; 2015-....)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Méthodes formelles (Gif-sur-Yvette, Essonne ; 2021-....)
Référent : Ecole Normale Supérieure Paris-Saclay
graduate school : Université Paris-Saclay. Graduate School Informatique et sciences du numérique (2020-….)
Jury : Examinateurs / Examinatrices : Richard Mayr, Benjamin Monmege, Krishnendu Chatterjee, Serge Haddad, Marta Kwiatkowska, Sophie Pinchinat, Bruno Ziliotto
Rapporteur / Rapporteuse : Richard Mayr, Benjamin Monmege

Résumé

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On étudie des jeux à deux joueuses (A et B) sur des graphes. À partir d'un état du graphe, les joueuses interagissent pour aller d'un état à un autre.Ceci induit une suite infinie d'états à laquelle une fonction de gain mesurable associe une valeur dans [0, 1]. La Joueuse A (resp. B) tente de maximiser (resp.minimiser) l'espérance de cette fonction de gain.Les jeux à tours, i.e. les jeux tels qu'à chaque état une seule joueuse choisit(une loi de probabilités sur) l'état suivant, ont de nombreuses bonnes propriétés.Par exemple, dans tous les jeux à tours perd/gagne déterministes, une joueuse a une stratégie gagnante. De plus, dans les jeux de parité à tours finis, les deux joueuses ont des stratégies optimales positionnelles. A contrario, les jeux concurrents, i.e. les jeux tels qu'à chaque état les deux joueuses concourent au choix d'une loi de probabilité sur les états suivants, se comportent mal. Ainsi, il existe des jeux concurrents de parité déterministes tels que : aucune des joueuses n'a de stratégie gagnante ; aucune joueuse n'a de stratégie optimale, même stochastique. De plus, lorsque c'est possible, jouer de manière optimale peut nécessiter une mémoire infinie. Le but de ce manuscrit est d'enrichir notre compréhension du comportement des jeux concurrents. Pour ce faire, on étudie la notion de forme de jeu. Les formes de jeu sont les objets mathématiques qui décrivent les interactions (locales) des joueuses à chaque état d'un jeu concurrent. Les formes de jeu sont définies par un ensemble de stratégies locales par joueuse, un ensemble d'issues et une fonction envoyant une paire d'une stratégie locale par joueuse sur une loi de probabilités sur les issues. Généralement, dans les articles sur les jeux concurrents, les interactions locales sont des formes de jeu standard (finies) :les ensembles de stratégies locales sont des lois de probabilités sur les ensembles(finis) d'actions sous-jacents. Ici, on définie des formes de jeu plus générales,que l'on appelle formes de jeu arbitraires. Certains des résultats établis dans ce manuscrit supposent que les interactions locales sont standard, tandis que les autres ne font pas de telles hypothèses.Premièrement, on prouve des résultats généraux sur les jeux concurrents,avec très peu d'hypothèses sur les fonctions de gain et les interactions locales.En particulier, on considère un résultat crucial sur les jeux concurrents : la détermination de Blackwell de Martin, qui peut être énoncé comme suit. Soit un jeu concurrent dont toutes les interactions locales sont standards finies.Depuis chaque état, il existe une valeur u dans [0, 1] telle que les stratégies de la Joueuse A (resp. B) peuvent garantir que l'espérance de la fonction de gain est au moins (resp. au plus) égal à n'importe quel seuil en-dessous(resp. au-dessus) de u. On généralise ce résultat aux jeux dont les formes de jeu sont arbitraires et en déduisons d'autres résultats sur les jeux concurrents. On prouve également d'autres résultats sur les jeux concurrents, en particulier sur les stratégies optimales en sous-jeu. Deuxièmement, on étudie le comportement des jeux de parité concurrents finis en termes d'existence et de nature des stratégies (presque) optimales (en sous-jeu), avec très peu d'hypothèses sur les interactions locales.Troisièmement, on définie des ensembles de jeux concurrents qui ont certaines des propriétés des jeux à tours tout en étant plus généraux que les jeux à tours. Ainsi, étant donné une propriété souhaitable des jeux concurrents, oncaractérise tout d'abord les formes de jeu qui garantissent que tous les jeuxsimples qui les utilisent comme interactions locales satisfont cette propriété. Oncaractérise ainsi les formes de jeu qui se comportent bien individuellement. Onmontre ensuite que tous les jeux concurrents qui utilisent ces formes de jeucomme interactions locales satisfont également cette propriété. Ces formes de jeux se comportent également bien collectivement.