Problèmes d'accessibilité des marches de rotors générales dans les graphes
Auteur / Autrice : | Loric Duhaze-Pradines |
Direction : | Johanne Cohen, David Auger, Pierre Coucheney |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Informatique |
Date : | Soutenance le 06/12/2023 |
Etablissement(s) : | université Paris-Saclay |
Ecole(s) doctorale(s) : | École doctorale Sciences et technologies de l'information et de la communication (Orsay, Essonne ; 2015-....) |
Partenaire(s) de recherche : | Laboratoire : Données et algorithmes pour une ville intelligente et durable (Versailles ; 2015-...) - Laboratoire interdisciplinaire des sciences du numérique (Orsay, Essonne ; 2021-....) |
référent : Université de Versailles-Saint-Quentin-en-Yvelines (1991-....) | |
graduate school : Université Paris-Saclay. Graduate School Informatique et sciences du numérique (2020-....) | |
Jury : | Président / Présidente : Jean-Michel Fourneau |
Examinateurs / Examinatrices : Kévin Perrot, Laurent Gourvès, Fanny Pascual, Olivier Hudry | |
Rapporteurs / Rapporteuses : Kévin Perrot, Laurent Gourvès |
Mots clés
Résumé
Nous nous intéressons dans cette thèse aux propriétés algorithmiques d'un automate cellulaire, les marches de rotors. Ce modèle a été introduit de deux manières différentes. Tout d'abord comme une opération élémentaire d'un autre automate cellulaire : les Sandpiles qui modélisent l'effondrement d'une pile de sable lorsque celle-ci devient trop haute. Mais également, par sa ressemblance avec des modèles stochastiques très étudiés que sont les marches aléatoires. En effet, de nombreuses propriétés structurelles des marches aléatoires (temps d'atteinte, temps de couverture, etc...) sont similaires à celles de cet automate complètement déterministe qu'est la marche de rotor. Cette forme de "dérandomisation" de processus aléatoire a été la motivation principale de cette thèse. Plus précisément, une marche de rotor correspond au mouvement d'une particule sur un graphe orienté en suivant la règle suivante : au départ on fixe un ordre (une numérotation) sur les arcs sortants de chacun des sommets du graphe puis, une fois qu'on a définit la position de départ de la particule, chaque fois que cette dernière est sur un sommet, elle le quitte par l'arc de valeur la plus faible qu'elle n'a pas déjà utilisé. Bien entendu, si tous les arcs ont été utilisés, on redémarre avec l'arc de plus faible valeur. Il existe une multitude de problèmes d'accessibilité sur les rotors dont nous nous appliquons à faire une liste dans cette thèse. Nous donnerons également des résultats de complexité pour certains d'entre eux. Puis nous nous intéresserons à un problème d'accessibilité particulier : ARRIVAL. Si l'on considère un graphe avec des puits tel qu'il existe un chemin orienté entre chaque sommet du graphe et au moins l'un de ces puits, une marche de rotor se termine forcément. Hélas, le nombre d'étapes avant que ce processus ne termine peut être exponentiel. En 2017, Dorhau et al. ont présenté un problème, nommé ARRIVAL, qui est de savoir si la particule finit bien sa course dans un puits donné. Ils ont montré qu'il appartenait aux classes de complexité NP et co-NP. Etant donc un bon candidat à être résolu par un algorithme polynomial, nous nous intéressons à ce problème sur une sous-classe de graphe pour laquelle le nombre d'étapes du processus peut être exponentiel : les Tree-like multigraphes. Il s'agit de multigraphes donc le graphe non-orienté sous-jacent est un arbre. Dans ce contexte, nous avons pu montrer que ce problème pouvait être résolu en temps linéaire et même étendre ces résultats à des versions décisionnelles du problème ARRIVAL connues pour être respectivement NP-complète et PSPACE-complète.