U - Statistiques et statistique non paramétrique pour données dépendantes

U - Statistics and non parametric statistics for dependent data

• Auteur / Autrice : Sinda Kharrat
• Direction : Jérôme Dedecker, Céline Duval
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 17/03/2023
• Etablissement(s) : Université Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : MAP5 - Mathématiques Appliquées à Paris 5
• Jury : Président / Présidente : Claire Lacour
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jérôme Dedecker, Céline Duval, Claire Lacour, Mohamed El Machkouri, Clémentine Prieur, Gabriel Lang, Florence Merlevède
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Mohamed El Machkouri, Clémentine Prieur

Mots clés

Mots clés contrôlés

Variables aléatoires

Tests d'hypothèses (statistique)

Fonctions de concentration

Distances de Wasserstein

Mots clés libres

Distance de Wasserstein

Estimateurs adaptatifs

Inégalités de concentration

Suites mélangeantes

Tests d'hypothèses

U-Statistiques

Variables aléatoires dépendantes

Adaptive estimators

Concentration inequalities

Dependent random variables

Hypothesis testing

U-Statistics

Wasserstein distance

Résumé

Dans cette thèse, on s'intéresse à trois problèmes distincts issus de la statistique non paramétrique pour des données dépendantes: le test de corrélation de Kendall pour données dépendantes, l'estimation adaptative de densité pour des suites alpha -mélangeantes et la concentration de la mesure empirique pour la distance de Wasserstein. L'objectif a été d'étendre des résultats existants pour des données indépendantes dans un cadre dépendant. Dans le chapitre 2, nous étudions le test non paramétrique de Kendall qui nous permet de tester l'existence d'une liaison monotone entre deux variables. Nous proposons une correction robuste du test de Kendall habituel étudié pour une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées. Nous commençons par montrer numériquement que ce test est mal calibré dans le cas dépendant. Pour résoudre ce problème, nous démontrons un Théorème Central Limite pour la U-statistique de Kendall valable pour une large classe de suites dépendantes en utilisant des coefficients de dépendance proches de ceux introduits par Dedecker et Prieur 2007. La loi limite obtenue fait intervenir une variance limite pour laquelle nous proposons un estimateur. Ces résultats permettent la construction d'une procédure de test asymptotiquement bien calibré. Cette correction est valable pour une grande classe de suites beta_2 dépendantes, sous des conditions quasi-optimales sur ces coefficients. Les résultats sont ensuite illustrés sur plusieurs jeux de simulation. Dans le chapitre 3, nous proposons un estimateur adaptatif de la densité d'une suite de variables aléatoires réelles stationnaires et alpha-mélangeantes au sens de Rosenblatt 1956. Pour cela, nous adaptons une procédure d'estimation adaptative de densité introduite récemment dans un cadre indépendant par Duval et Kappus 2019. Cet estimateur adaptatif est basé sur l'estimation de la fonction caractéristique des observations et ses performances sont étudiées pour des pertes L2. Cette généralisation nécessite à la fois une étude précise du biais de l'estimateur non adaptatif dans le cas mélangeant, et l'utilisation d'une inégalité de Fuk-Nagaev due à Rio 2017 pour démontrer la borne oracle pour l'estimateur adaptatif. Les résultats fournissent (à un logarithmique près) les mêmes vitesses que les vitesses minimax du cas iid, pourvu que les coefficients de mélange décroissent plus vite que k^{-a} pour a>5, ce qui constitue une amélioration par rapport aux résultats existants dans ce cadre. Les résultats sont illustrés via plusieurs jeux de simulation. Dans le chapitre 4, nous étudions le comportement de la distance de Wasserstein Wp, p>1, entre la distribution empirique et la distribution marginale d'une suite strictement stationnaire de variables aléatoires à valeurs dans R^d. L'outil principal est une inégalité de Fournier et Guillin 2015. Les coefficients adaptés pour contrôler les normes de ces quantités sont des coefficients de dépendance introduits par Dedecker et Prieur 2007. Pour contrôler les moments d'ordre r \in (1, 2) on utilise une inégalité de type von Bahr-Esseen et pour contrôler les moments d'ordre r>2, on utilise une inégalité de type Burkholder. En procédant ainsi, nous obtenons des inégalités de moment qui dépendent des valeurs respectives de p, d ainsi que du moment des variables et du taux de décroissance des coefficients de dépendance. Dans le cas du moment d'ordre r=2, on retrouve les conditions de dépendance obtenues par Dedecker et Merlevède 2019 en dimension 1.

In this thesis we investigate three distinct problems of non parametric statistics for dependent data: the Kendall correlation test, an adaptive density estimator for alpha- dependent variables and the concentration of the empirical measure for the Wasserstein distance. The purpose is to generalize existing results of the independent setting to some dependent settings. In chapter 2, we study the Kendall's test which is a non parametric testing procedure enabling to detect the existence of a monotonic relation between two random variables. We propose a robust correction of the usual Kendall test for iid (independent and identically distributed) random variables. We show numerically that the usual Kendall test does not have the desired level in case of dependent data. To solve this problem we prove a Central Limit Theorem for Kendall's U-statistic valid over a large class of dependent sequences, using dependence coefficients close to the ones introduced in Dedecker and Prieur (2007). The limit distribution depends on an unknown variance which is consistently estimated. These results enable to build an asymptotically well calibrated testing procedure. This correction of the usual Kendall procedure is valid for a large class of beta_2 dependent sequences, the conditions imposed on the coefficients are almost optimal. The results are then illustrated numerically on several simulated examples. In chapter 3, we propose an adaptive density estimator of the common density of a strictly stationary sequence of real-valued random variables. These variables are supposed to be alpha-mixing in the sense of Rosenblatt (1956). To that end we generalize an adaptive density estimation procedure recently introduced in an independent framework by Duval and Kappus (2019). This procedure relies on the estimation of the characteristic function of the observations and its performances are studied for the integrated L2 loss. This generalization requires both a precise study of the bias of the non adaptive estimator in the case of \alpha-mixing variables, and the use of a Fuk-Nagaev inequality proved by Rio (2017) to establish the oracle inequality for the adaptive estimator. The obtained rates of convergence are (almost) the same as the minimax rates known in the iid case as long as the decay of the mixing coefficients is faster that k^{-a} for a>5. This is an improvement of existing results in the alpha-mixing framework. The procedure is then illustrated on different sets of simulations. In chapter 4, we study the behavior of the Wasserstein distance Wp, p>1, between the empirical distribution and the marginal distribution \ of a stationary sequence of R^d-valued random variables. The main tool is an inequality due to Fournier and Guillin 2015. The dependency coefficients introduced in Dedecker and Prieur 2007 are well adapted to control the norms of such quantities. To get an upper bound for the moments of order r \in (1, 2) we can apply an inequality of von Bahr-Esseen type; for the moments of order r>2, we rely on an inequality of Burkholder type. Then, we derive moment inequalities for Wp depending on the quantities p, d, on the moments of the variables as well as on the decay rate of the dependency coefficients. In the case r=2 we recover the same conditions on the dependency coefficients as the ones obtained in Dedecker and Merlevède (2019) in dimension 1.