Normalisations quadratiques et présentations cohérentes de monoïdes

Quadratic normalisations and coherent presentations of monoids

• Auteur / Autrice : Alen Duric
• Direction : Yves Guiraud, Pierre-Louis Curien
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 13/04/2023
• Etablissement(s) : Université Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche en informatique fondamentale (Paris ; 2016-....)
• Jury : Président / Présidente : Ivan Marin
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Yves Guiraud, Pierre-Louis Curien, Ivan Marin, Barbara Baumeister, António Malheiro, Viktoriya Ozornova
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Barbara Baumeister, António Malheiro

Mots clés

Mots clés contrôlés

Homotopie

Factorisation

Groupes d'Artin-Tits

Monoïdes

Mots clés libres

Monoïde

Présentation cohérente

Réécriture

Polygraphe

Monoïde d'Artin-Tits

Famille de Garside

Factorabilité

Monoïde plaxique

Normalisation quadratique

Réduction homotopique

Monoid

Coherent presentation

Rewriting

Polygraph

Artin-Tits monoid

Garside family

Factorability

Plactic monoid

Quadratic normalisation

Homotopical reduction

Résumé

Une présentation cohérente d'un monoïde consiste en un ensemble de générateurs, un ensemble de relations génératrices, et un ensemble de relations génératrices entre relations, au moyen desquelles deux relations parallèles quelconques peuvent être ''transformées'' l'une en l'autre. Un monoïde est factorisable, relativement à un ensemble générateur, s'il admet une manière commode de séparer un générateur d'un élément quelconque. Dans cette thèse, on construit des présentations cohérentes de certaines classes de monoïdes. On caractérise également les monoïdes factorisables. Plus précisément, on montre comment construire des présentations cohérentes de monoïdes annulables par la gauche, admettant une famille de Garside noéthérienne à droite et des multiples à droite communs minimaux, et ne contenant aucun élément inversible non trivial. Ainsi, on résout la question de trouver une généralisation commune aux deux extensions distinctes de la construction originale de Deligne de présentations cohérentes pour les monoïdes d'Artin-Tits sphériques : aux monoïdes d'Artin-Tits généraux, et aux monoïdes de Garside. Nous appliquons nos résultats à certains monoïdes qui ne sont ni Artin-Tits ni Garside. Un autre avantage de nos résultats est que nous pouvons prendre une famille de Garside finie comme ensemble générateur dans le calcul d'une présentation cohérente des monoïdes d'Artin-Tits, alors qu'auparavant il fallait prendre le groupe de Coxeter correspondant même s'il était infini. En outre, on établit une correspondance entre la notion de normalisation quadratique et la notion de factoriabilité, malgré des origines et des motivations différentes pour ces deux notions. Plus concrètement, on caractérise les monoïdes factorisables dans le cadre axiomatique de la normalisation quadratique comme des monoïdes admettant une normalisation quadratique satisfaisant une condition plus forte que la classe (5,4) mais plus faible que la classe (4,4). Ici, la notion de classe est un paramètre évaluant la complexité de la normalisation des mots de longueur trois. On caractérise également la classe (4,3) en termes de factoriabilité et d'une condition assurant la terminaison du système de réécriture associé, et on prouve une équivalence entre les deux conditions connues. De plus, on construit une présentation cohérente de monoïdes admettant une normalisation quadratique de la classe (4,3), sans autre restriction. On montre également que la présentation cohérente construite se spécialise dans la présentation cohérente en colonne déjà connue des monoïdes plaxiques de type A.

A coherent presentation of a monoid consists of a set of generators, a set of generating relations, and a set of generating relations among relations, by means of which any two parallel relations can be ''transformed'' into each other. A monoid is factorable, with respect to a generating set, if it admits a convenient way to split off a generator from an any element. In this dissertation, we construct coherent presentations of certain classes of monoids. We also characterise factorable monoids. More precisely, we show how to construct coherent presentations of left-cancellative monoids admitting a right-noetherian Garside family and minimal common right multiples, and containing no nontrivial invertible element. Thereby, we resolve the question of finding a common generalisation to the two distinct extensions of Deligne's original construction of coherent presentations for spherical Artin-Tits monoids: to general Artin-Tits monoids, and to Garside monoids. We apply our results to some monoids which are neither Artin-Tits nor Garside. Another benefit of our results is that we can take a finite Garside family for a generating set in computing a coherent presentation of Artin-Tits monoids, whereas before one had to take the corresponding Coxeter group even if it was infinite. Furthermore, we establish a correspondence between the notion of quadratic normalisations and the notion of factorability, in spite of different origins and motivations for these two notions. More concretely, we characterise factorable monoids in the axiomatic setting of quadratic normalisation as monoids admitting a quadratic normalisation satisfying a condition stronger than the class (5,4) yet weaker than the class (4,4). Here, the notion of class is a parameter evaluating the complexity of normalising length-three words. We also characterise the class (4,3) in terms of factorability and a condition ensuring the termination of the associated rewriting system, and we prove an equivalence between the two known such conditions. In addition, we construct a coherent presentation of monoids admitting a quadratic normalisation of class (4,3), with no further restrictions. We also show that the constructed coherent presentation specialises to the already known column coherent presentation of plactic monoids of type A.