Variétés de caractères généralisées et quantification par l'homologie à factorisation

Generalized character varieties and quantization via factorization homology

• Auteur / Autrice : Corina Keller
• Direction : Damien Calaque
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et modélisation
• Date : Soutenance le 03/02/2023
• Etablissement(s) : Université de Montpellier (2022-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Information, Structures, Systèmes (Montpellier ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck (Montpellier ; 2003-....)
• Jury : Président / Présidente : Philippe Roche
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Damien Calaque, Philippe Roche, David Jordan, Catherine Meusburger, Anton Alekseev, Claudia Scheimbauer, Adrien Brochier
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : David Jordan, Catherine Meusburger

Mots clés

Mots clés contrôlés

Quantification par déformation

Topologie algébrique

Homologie

Factorisation

Mots clés libres

Théorie des champs topologiques

Homologie à factorisation

Quantification par déformation

Topological field theory

Factorization homology

Deformation quantization

Résumé

Dans cette thèse, nous étendons la méthode d'homologie à factorisation de D. Ben-Zvi, A. Brochier et D. Jordan pour construire des quantifications des variétés de caractères, aux surfaces avec certaines décorations pour obtenir des quantifications fonctorielles des variétés de caractères tordues et dynamiques. Pour le premier, on considérera des surfaces munies des D-fibrés principaux, pour D un groupe fini, et les coefficients locaux sont des catégories monoidales tressées balancées avec une action du groupe D. Notre exemple principal provient d'une action des automorphismes de diagrammes de Dynkin sur les catégories de représentations des groupes quantiques. Nous démontrons que dans ce cas l'homologie à factorisation donne lieu à une quantification de l'espace de modules de G-fibrés plats tordus (cette partie est basée sur une collaboration avec L. Müller). Dans une seconde partie, nous considérons des surfaces avec des points marqués et des systèmes de coefficients issus de la théorie des groupes quantiques dynamiques : les coefficients locaux pour le bulk sont des représentations de groupes quantiques et les défauts ponctuels sont décrits par des twists dynamiques issus des solutions de l'équation de Yang–Baxter dynamique quantique. Nous montrons que l'homologie à factorisation donne lieu à une quantification par déformation d'un crochet de Poisson dynamique de type Fock-Rosly défini par des r-matrices dynamiques classiques. Ces structures de Poisson sont apparues précédemment dans le cadre de la théorie de Chern-Simons avec des sources dynamiques telle qu'étudiée par E. Buffenoir et P. Roche.

In this thesis we extend the factorization homology method for quantizing G-character varieties due to D. Ben-Zvi, A. Brochier and D. Jordan to surfaces with certain decorations to obtain functorial quantizations of twisted- and dynamical character varieties. For the former, we will consider surfaces decorated with D-bundles, for D a finite group, and local coefficients given by balanced braided tensor categories with a D-action. Our main example comes from an action of Dynkin diagram automorphisms on representation categories of quantum groups. We show that in this case factorization homology gives rise to a quantization of the moduli space of flat twisted G-bundles (this part is based on joint work with L. Müller). In a second part, we consider surfaces with marked points and local coefficients coming from the theory of dynamical quantum groups: local coefficients for the bulk are quantum group representations and the point defects are governed by dynamical twists coming from solutions to the quantum dynamical Yang–Baxter equation. We show that factorization homology gives rise to a deformation quantization of a Fock-Rosly type Poisson bracket defined in terms of classical dynamical r-matrices. These Poisson structures have previously appeared in the context of Chern-Simons theory coupled to dynamical sources as studied by E. Buffenoir and P. Roche.