Dynamique de feuilletages holomorphes singuliers hyperboliques

Dynamics of hyperbolic singular holomorphic foliations

• Auteur / Autrice : François Bacher
• Direction : Viêt-Anh Nguyên
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance le 20/11/2023
• Etablissement(s) : Université de Lille (2022-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences du numérique et de leurs interactions (Lille ; 2021-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Paul Painlevé
• Jury : Président / Présidente : Sergey Ivashkovich
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Tien-Cuong Dinh, Jasmin Raissy
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Julio Rebelo, Valentino Tosatti

Mots clés

Mots clés contrôlés

Variétés complexes

Géométrie hyperbolique

Mesure harmonique

Feuilletages (mathématiques)

Théorie ergodique

Dynamique holomorphe

Mots clés libres

Dynamique complexe

Gémoétrie complexe

Théorie ergodique

Feuilletages holomorphes singuliers

Métrique de Poincaré

Courants harmoniques

Complex dynamics

Complex geometry

Ergodic theory

Singular holomorphic foliations

Leafwise Poincaré metric

Harmonic currents

Résumé

Nous étudions dans cette thèse une théorie dynamique et ergodique pour des feuilletages holomorphes singuliers hyperboliques. Nous poursuivons les travaux de Dinh, Nguyên et Sibony qui proposent de considérer la distance dans l'uniformisation des feuilles comme temps canonique. Nous élargissons quelques-uns de leurs théorèmes de singularités linéarisables à des singularités non-dégénérées. Une grande partie de nos raisonnements est fondée sur l'application du lemme de Grönwall et de ses généralisations ; ainsi que sur une estimation de la métrique de Poincaré autour de singularités non-dégénérées due à Canille Martins et Lins Neto.Nous donnons d'abord une introduction aux diverses approches et résultats généraux de la théorie des feuilletages. Ensuite, nous discutons de la métrique de Poincaré d'un feuilletage holomorphe singulier hyperbolique par l'étude du module d'uniformisation de Verjovsky. Nous déterminons un module de continuité de cette fonction dans le cas d'un feuilletage Brody-hyperbolique sur une variété complexe compacte aux singularités non-dégénérées. Cette condition est générique pour un feuilletage de degré au moins 2 sur un espace projectif. Après quoi, nous reproduisons la construction de deux semi-groupes d'opérateurs de diffusion de la chaleur, puis montrons leur identité sous les mêmes hypothèses que le module de continuité. Enfin, nous nous penchons sur la notion d'entropie introduite par Dinh, Nguyên et Sibony pour les feuilletages hyperboliques. Nous établissons la finitude de cette entropie pour un feuilletage Brody-hyperbolique sur une surface compacte aux singularités non-dégénérées.

This thesis deals with a dynamical and ergodic theory for hyperbolic singular holomorphic foliations. We follow the approach of Dinh, Nguyên and Sibony, for whom the canonical time is the Poincaré distance in a uniformization of the leaves. We broaden some of their statements from linearizable singularities to non-degenerate singularities. A large part of our arguments are based on the application of the Grönwall Lemma and its generalizations ; as well as on an estimate of the Poincaré metric around non-degenerate singularities due to Canille Martins and Lins Neto.We give an introduction to various approaches and general results in the theory of foliations. Next, we discuss the Poincaré metric of a hyperbolic singular holomorphic foliation by studying the Verjovsky's modulus of uniformization map. We determine a modulus of continuity of this function in the case of a Brody-hyperbolic foliation on a compact complex manifold with non-degenerate singularities. This is a generic condition for foliations on Pn (C) of degree at least 2. We pursue by explaining the construction of two semi-groups of heat diffusion operators. We show that they coincide under the same hypothesis as the modulus of continuity. Finally, we study the notion of entropy that Dinh, Nguyên and Sibony have introduced for hyperbolic foliations. We establish the finiteness of this entropy for a Brody-hyperbolic foliation on a compact complex surface with non-degenerate singularities.