Géométrie et arithmétique des composantes des espaces de Hurwitz

Geometry and Arithmetic of Components of Hurwitz Spaces

• Auteur / Autrice : Béranger Seguin
• Direction : Pierre Dèbes, Ariane Mézard
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance le 06/07/2023
• Etablissement(s) : Université de Lille (2022-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences du numérique et de leurs interactions (Lille ; 2021-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Paul Painlevé - École normale supérieure (Paris ; 1985-....). Département de mathématiques et applications (1998-....)
• Jury : Président / Présidente : Mladen Dimitrov
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Tamás Szamuely
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jean-Marc Couveignes, Craig Westerland

Mots clés

Mots clés contrôlés

Courbes algébriques

Recouvrements (espaces topologiques)

Galois, Théorie inverse de

Espaces de modules

Géométrie algébrique arithmétique

Mots clés libres

Espaces de hurwitz

Arithmetic geometry

Moduli spaces

Curves

Covers

Hurwitz spaces

Inverse galois theory

Résumé

Les espaces de Hurwitz sont des espaces de modules qui classifient les revêtements ramifiés de la droite projective sur lesquels un groupe G, fixé, agit. Leurs propriétés géométriques et arithmétiques sont liées à des questions de théorie des nombres, notamment le problème de Galois inverse. Dans cette thèse, on étudie les composantes connexes de ces espaces. Dans un premier temps, on s'intéresse à la question du nombre de composantes, et plus précisément à l'évolution de ce nombre à mesure que le nombre de points de branchement des revêtements augmente ; dans un second temps, on s'intéresse aux corps de définition de ces composantes, et notamment du comportement de l'opération topologique de concaténation (ou recollement) vis à vis de cette question arithmétique. Sur ces deux questions, nous obtenons des améliorations des résultats connus. Trois chapitres d'exposition, dénués d'énoncés originaux, sont également dédiés à présenter les objets étudiés. Dans un appendice, on résume la thèse à l'attention du grand public.

Hurwitz spaces are moduli spaces that classify branched covers of the projective line on which a fixed group G acts. Their geometric and arithmetic properties are related to questions in number theory, particularly the inverse Galois problem. In this thesis, we study the connected components of these spaces. Initially, we focus on the question of the number of components, specifically how this number grows as the number of branch points of the covers increases. Secondly, we study the fields of definition of these components, particularly the behavior of the topological operation of concatenation (or gluing) with respect to this arithmetic question. We obtain improvements on both of these questions compared to known results. Three exposition chapters, without original statements, are dedicated to presenting the main objects. An appendix summarizes the thesis for the general public.