Etude fine de processus multifractionnaires non classiques

Thorough study of non-classical multifractional processes

• Auteur / Autrice : Florent Bouly
• Direction : Antoine Ayache
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance le 20/06/2023
• Etablissement(s) : Université de Lille (2022-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences du numérique et de leurs interactions (Lille ; 2021-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Paul Painlevé
• Jury : Président / Présidente : Stéphane Jaffard
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Anne Estrade, Ciprian A. Tudor
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Mark Podolskij, Erick Herbin

Mots clés

Mots clés contrôlés

Processus autosimilaires

Mouvement brownien, Processus de

Mots clés libres

Processus multifractionnaires

Régularité hölderienne

Exposant de Hurst

Sample paths regularity

Self-Similiraty

Multifractionnals processes

Résumé

Les processus stochastiques multifractionnaires sont des généralisations naturelles desmouvements brownien et brownien fractionnaire. Leur caractéristique essentielle est que leurs propriétés locales peuvent être prescrites via un paramètre fonctionnel et peuvent donc changer significativement d'un point à un autre. Le mouvement brownien multifractionnaire et d'autres processus multifractionnaires classiques sont construitsen remplaçant le paramètre de Hurst constant d'un processus fractionnaire par unefonction qui dépend de la variable qui permet d'indexer le processus. Une importante idée nouvelle est que le paramètre fonctionnel (déterministe ou aléatoire) de tels processus peut être dépendant de la variable d'intégration associée à l'intégrale stochastique qui représente le processus; un tel processus est alors dit multifractionnaire non classique.Ces processus non classiques sont plus complexes à étudier et il n'est pas certain que les méthodes usuelles s'adaptent à ce nouveau contexte. Un objectif important de cette thèse est de réussir à déterminer les exposants de Hölder local et ponctuel de ces processus non classiques pour un événement universel qui ne dépend pas du point considéré. Un autre objectif est l'estimation statistique de leur paramètre de Hurst (qui est parfois aléatoire) à partir d'une trajectoire discrétisée. Enfin, la question de la simulation de tels processus non classiques est également étudiée.

Multifractional processes are natural generalisations of Brownian motion and fractional Brownian motion. Their essential feature is that their local properties can be prescribed via a functional parameter and can therefore change significantly from one point to another. Multifractional Brownian motion and other classical multifractional processes are constructed by replacing the constant Hurst parameter of a fractional process by a function that depends on the variable which indexes the process. An important new idea is that the functional parameter (deterministic or random) of such processes can depend on the integration variable associated with the stochastic integral that represents the process; such a process is then said to be non-classical multifractional.These non-classical processes are more complex to study and it is not clear that the usual methods fit this new context. An important objective of this thesis is to determine the local and pointwise Hölder exponents of these non-classical processes for a universal event that does not depend on the location. Another objective is the statistical estimation of their Hurst parameter (which is sometimes random) from a discretized trajectory. Finally, the question of the simulation of such non-classical processes is also presented.