Une approche groupoïdale au calcul pseudodifférentiel sur les variétés d'Heisenberg et au résidu de Wodzicki.

A groupoidal approach to pseudodifferential calculus on Heisenberg manifolds and on the Wodzicki residue.

• Auteur / Autrice : Nathan Couchet
• Direction : Dominique Manchon, Robert Yuncken
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Soutenance le 23/06/2023
• Etablissement(s) : Université Clermont Auvergne (2021-...)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale des sciences fondamentales (Clermont-Ferrand)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques Blaise Pascal (Aubière ; 1996-....)
• Jury : Président / Présidente : Hervé Oyono-Oyono
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Giuseppe Dito, Véronique Fischer, Julien Bichon
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Sylvie Paycha, Jean-Marie Lescure

Mots clés

Mots clés contrôlés

Opérateurs pseudo-différentiels

Groupe de Heisenberg

Analyse mathématique

Mots clés libres

Opérateurs pseudo-Différentiels

Géométrie différentielle

Groupoïde tangent

Variétés filtrées

Groupes de Lie nilpotents

Analyse fonctionnelle

Pseudo-Differential operators

Differential Geometry

Tangent groupoïd

Filtered manifolds

Nilpotent Lie groups

Functionnal analysis

Résumé

Cette thèse s'inscrit dans le contexte de la géométrie non commutative et poursuit l'utilisation du groupoïde tangent de Connes comme outil pour fabriquer des calculs pseudo-différentiels. Moralement, l'approche groupoïdale aux calculs pseudo-différentiels permet de s'affranchir de la notion de carte locale et a fortiori de théorèmes d'invariance par difféomorphisme qui permettent de définir bon nombre d'objets. Ainsi, spécifiant les travaux récents de Debord et Skandalis (2014), et de Van-Erp et Yuncken (2017), nous nous sommes intéressés au calcul pseudo-différentiel groupoïdal sur les variétés d'Heisenberg.Les opérateurs pseudo-différentiels classiques qui sont nés dans les années 60 sous l'impulsion des travaux d'Hörmander, Kohn et Nirenberg sont définis via une représentation de Fourier intégrale d'une classe de symbole. En 2017, Van-Erp et Yuncken ont montré que tout opérateur pseudo-différentiel classique était la restriction en t=1 d'une distribution r-fibrée au sens de Lescure, Manchon et Vassout, vivant sur le groupoïde tangent, et essentiellement homogène pour l'action de Debord-Skandalis.Dans une première partie, nous montrons que tout symbole poly-homogène est la restriction en t=1 d'une fonction homogène modulo Schwartz vue dans une dimension supérieure. Cette dimension supérieure est précisément l'axe réel qui paramétrise le groupoïde tangent et notre résultat représente le lien tacite qu'il subsiste entre l'approche groupoïdale et les opérateurs pseudo-différentiels classiques.Van-Erp et Yuncken, Choi et Ponge ont défini courant des années 2005-2015 le groupoïde tangent H-filtré, pour une variété filtrée. Grâce à cela Van-Erp et Yuncken ont défini en 2017 le calcul pseudo-différentiel groupoïdal sur de telles variétés. Dans les années 80, on voit apparaître des calculs pseudo-différentiels - par exemple ceux de Taylor et Beals et Greiner - dont le but est essentiellement d'étudier l'hypo-ellipticité de certaines familles d'opérateurs différentiels. Le but de ces calculs est de contenir les paramétrixes des opérateurs elliptiques, où l'ellipticité n'est plus comprise au sens classique issu du contexte commutatif, mais s'exprime à travers la filtration sur la variété (ou la graduation sur un groupe de Lie gradué). Les travaux de Beals et Greiner sur les variétés d'Heisenberg, un exemple de variété filtrée de pas deux, permettent d'étudier des exemples d'opérateurs de type « chaleur », « sous-laplacien », ou encore des opérateurs apparus deux décennies plus tôt comme l'opérateur de Kohn-Laplace ou de Neumann dont on doit l'étude à Folland, Stein, Kohn, Rossi.Dans une seconde partie, nous montrons que les travaux de Beals et Greiner (1983) coïncide avec ceux de Van-Erp et Yuncken dans le cadre des variétés d'Heisenberg que sont les variétés de contact, les feuilletages de codimension un et les variétés dites « modèles ».Dans une troisième partie, nous nous intéressons au résidu de Wodzicki (1984). Nous définissons un résidu groupoïdal sur une variété filtrée quelconque pour les opérateurs pseudo-différentiels dans le calcul de Van-Erp et Yuncken d'ordre plus petit ou égal à moins la dimension homogène de la variété filtrée. Lorsque la variété est trivialement filtrée, nous montrons que le résidu groupoïdal coïncide avec le résidu de Wodzicki. Enfin en 2007, Ponge a défini un résidu dans le cadre des variétés d'Heisenberg pour les opérateurs pseudo-différentiels de Beals et Greiner. Nous montrons, toujours dans les cas particuliers des variétés d'Heisenberg sus-mentionnées, que le résidu de Ponge coïncide au résidu groupoïdal.

This thesis is part of non commutative geometry and pursues the use of Connes' tangent groupoid as a tool to create pseudodifferential calculi. Morally, the groupoidal approach to pseudodifferential calculi allows us to circumvent the notion of local charts and a fortiori the need for theorems on the invariance by diffeomorphism that are commonly used to define many objects in the context of manifolds. In this way, refining recent works of Debord and Skandalis (2014) and of Van-Erp and Yuncken (2017), we focus on pseudodifferential calculus on Heisenberg manifolds.Classical pseudodifferential operators were born in the 60's resulting from work by Hörmander, Kohn and Nirenberg and are defined via a Fourier integral representation of a certain class of symbols. In 2017, Van-Erp and Yuncken showed that any such operator is the restriction at t=1 of an r-fibered distribution in the sense of Lescure, Manchon, Vassout, living on the tangent groupoid, and essentially homogeneous for the Debord-Skandalis action.In the first part, we show that any polyhomogeneous symbol is the restriction at t=1 of a homogeneous modulo Schwartz function seen in an extra-dimension. This extra-dimension is precisely the real axis parametrizing the tangent groupoid and our result highlights the tacit link that exists between the groupoidal approach and the classical pseudodifferential operators.Van-Erp and Yuncken, Choi and Ponge defined in the course of 2005-2015 the tangent H-filtered groupoid for a general filtered manifold. Thanks to this, Van-Erp and Yuncken defined in 2017 the groupoidal pseudodifferential calculus on such manifolds. In the 80's, Taylor, Beals and Greiner's pseudodifferential calculi were developed to study the hypoellipticity of certain families of differential operators. The goal of these pseudodifferential calculi was to contain the parametrices of elliptic operators, where the ellipticity is to be understood with respect to the filtration on the manifold (or the grading in the case of a graded Lie group) rather than in the usual commutative sense. In particular, the works of Beals and Greiner on Heisenberg manifolds, an example of filtered manifolds of length two, enable us to study « heat » type differential operators, sub-laplacians, and even famous operators like the Kohn-Laplacian, or the Neumann operator, which appeared two decades previously and whose study is due to Folland, Stein, Kohn and Rossi.In the second part, we show that the calculus of Beals and Greiner (1983) coincides with that of Van-Erp and Yuncken in the case of Heisenberg manifolds that are the contact manifolds, codimension one foliations or the « model » manifolds.In the third part, we investigate the Wodzicki residue (1984). We define a groupoidal residue on a general filtered manifold for pseudodifferential operators in the calculus of Van-Erp and Yuncken, whose order is at most minus the homogeneous dimension of the manifold. When the manifold is trivially filtered, we show that the groupoidal residue coincides with the Wodzicki residue. Finally, in 2007, Ponge defined a residue in the case of Heisenberg manifolds for the pseudodifferential operators of Beals and Greiner. We show, in the case of the above-mentionned Heisenberg manifolds, that Ponge's residue coincides with the groupoidal residue.