Chaînes de spins et codérivée en symétrie de type A et D

Spin chain with A and D-type algebra and Coderivative

• Auteur / Autrice : Helal Aldarak
• Direction : Nikolai Kitanine, Sébastien Leurent
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 19/12/2023
• Etablissement(s) : Bourgogne Franche-Comté
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Carnot-Pasteur (Besançon ; Dijon ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement de préparation : Université de Bourgogne (1970-2024)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de Mathématiques de Bourgogne (IMB) (Dijon)
• Jury : Président / Présidente : Véronique Terras
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Taro Kimura
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Ivan Kostov, Dmytro Volin

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie quantique

Spin

Physique mathématique

Mots clés libres

Intégrabilité

Physique mathématique

Modèles exactement résoluble

Dualités jauge-Gravité

Solvable models

Gauge-Gravity dualities

Integrability

Mathematical physics

Résumé

Cette thèse porte sur l'étude de système quantique intégrable spécifique ``chaînes de spin'' présentant différentes symétries. Ces chaînes de spin sont considérées comme des modèles jouets de certaines théories bidimensionnelles des champs lorsque la taille de ces modèles est finie. En particulier, certaines relations fonctionnelles dans ces chaînes de spin ont été généralisées aux théories des champs en utilisant un nombre fini d'équations pour trouver leur spectre.Nous commençons cette thèse en décrivant la chaîne de spins rationnelle bien étudiée avec symétrie GL(n) en utilisant l'opérateur de ``codérivée'' pour construire un « opérateur Q » polynomial qui nous permet de diagonaliser l'hamiltonien. Nous montrons l'équivalence avec une autre construction s'appuyant sur des représentations explicites en termes d’oscillateurs harmoniques.Nous étudions ensuite une chaîne de spins moins connue présentant une symétrie SO(2r). Nous construisons le ``Q-opérateur'' pour les représentations connues. Nous essayons ensuite plusieurs méthodes pour construire lesdits opérateurs pour des représentations générales. Ces tentatives montrent clairement que, d’une part, elles suggèrent fortement que la codérivative n’est pas suffisante pour décrire des représentations générales dans l’espace auxiliaire. Nous espérons en revanche qu’ils aideront à trouver quels outils supplémentaires pourraient nous permettre de les décrire.

This thesis is concerned with the study of specific integrable quantum system ``spin chains'' with different symmetries. These spin chains are considered toy models of some two-dimensional field theories when the size of these models is finite. In particular, some functional relations in these spin chains were generalized to field theories using a finite number of equations to find their spectrum.We start this thesis by describing the well-studied rational spin chain with GL(n) symmetry using the Coderivative operator to build a polynomial ``Q-operator'' that allows us to diagonalize the Hamiltonian. We show the equivalence with another construction relying on representations that are explicit in terms of harmonic oscillators.We then study a lesser-known spin chain with SO(2r) symmetry. We build the ``Q-operator'' for the known representations. Then we attempt several methods to build said operators for general representations. These attempts clearly show that, on the one hand, the attempts strongly suggest the Coderivative is not sufficient to describe general representations in auxiliary space. On the other hand, we hope they will help to find what additional tools may allow us to describe them.