Théorie motivique des nœuds

Motivic knot theory

• Auteur / Autrice : Clémentine Lemarié--Rieusset
• Direction : Frédéric Déglise, Adrien Dubouloz
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 15/09/2023
• Etablissement(s) : Bourgogne Franche-Comté
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Carnot-Pasteur (Besançon ; Dijon ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement de préparation : Université de Bourgogne (1970-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de Mathématiques de Bourgogne (IMB) (Dijon)
• Jury : Président / Présidente : Aravind Asok
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Yonatan Harpaz, Lucy Moser-Jauslin, Emmanuel Wagner
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Aravind Asok, Oliver Röndigs

Mots clés

Mots clés contrôlés

Witt, Groupe de

Invariants de Vassiliev

Théorie des noeuds

Géométrie algébrique

Mots clés libres

Théorie de l'homotopie motivique

Théorie des nœuds

Entrelacs

Groupes de Witt

K-Théorie de Milnor-Witt

Complexe de Rost-Schmid

Motivic homotopy theory

Knot theory

Links

Witt groups

Milnor-Witt K-Theory

Rost-Schmid complex

Résumé

Dans ce manuscrit, nous créons une théorie en géométrie algébrique par analogie avec la théorie des nœuds. Étant donné que cette nouvelle théorie s'appuie sur la théorie de l'homotopie motivique (plus précisément, sur la théorie de l'intersection quadratique), nous la nommons théorie motivique des nœuds. Plus précisément, nous étudions l' enlacement motivique : comment deux F-sous-schémas fermés disjoints dans un F-schéma ambiant peuvent être enlacés (F étant un corps parfait). En théorie des nœuds, l'enlacement d'un entrelacs orienté à deux composantes (i.e. de deux nœuds orientés disjoints) est un entier qui compte combien de fois une des composantes tourne autour de l'autre composante. Nous définissons des analogues en géométrie algébrique des entrelacs orientés à deux composantes et de l'enlacement; nous appelons ces analogues de l'enlacement des enlacements quadratiques. Nos enlacements quadratiques ne sont pas nécessairement des entiers; ceux que nous étudions le plus sont des éléments du groupe de Witt du corps de base F, qui est un groupe de classes d'équivalence de formes bilinéaires symétriques sur F (ou de manière équivalente, de formes quadratiques sur F, quand la caractéristique de F est différente de 2). Dans un premier temps nous répondons aux questions qui émergent naturellement de ces enlacements quadratiques et dans un second temps nous créons des méthodes de calcul des enlacements quadratiques. Ces méthodes s'appuient sur des formules explicites pour les morphismes de résidus de la K-théorie de Milnor-Witt (qui permettent de calculer des morphismes de bord pour les complexes de Rost-Schmid) et pour le produit d'intersection de l'anneau de Rost-Schmid (et en particulier de l'anneau de Chow-Witt). Grâce à ces méthodes, nous calculons explicitement nos enlacements quadratiques sur des exemples. Certains de ces exemples sont inspirés de la théorie des nœuds, plus spécifiquement des entrelacs toriques (notamment les entrelacs de Hopf et de Salomon).

In this thesis, we introduce a counterpart in algebraic geometry to knot theory. Since this new theory uses motivic homotopy theory (specifically, quadratic intersection theory), we name it motivic knot theory . We focus on motivic linking, which means that we study how two disjoint closed F-subschemes of an ambient F-scheme can be intertwined, i.e. linked together (where F is a perfect field). In knot theory, the linking number of an oriented link with two components (i.e. of two disjoint oriented knots) is an integer which counts how many times one of the components turns around the other component. We define counterparts in algebraic geometry to oriented links with two components and to the linking number; we call these latter counterparts quadratic linking degrees. Our quadratic linking degrees are not necessarily integers; the ones we study the most take values in the Witt group of the ground field F, which is a group of equivalence classes of symmetric bilinear forms over F (or equivalently, of quadratic forms over F, when the characteristic of F is different from 2). After answering questions which naturally arise from these quadratic linking degrees, we devise methods to compute them. These methods rely on explicit formulas for the residue morphisms of Milnor-Witt K -theory (from which boundary maps for the Rost-Schmid complexes are constructed) and for the intersection product of the Rost-Schmid ring (and in particular of the Chow-Witt ring). Using these methods, we explicitly compute our quadratic linking degrees on examples. Some of these examples are inspired by knot theory, specifically by torus links (including the Hopf and Solomon links).