Théorie motivique des nœuds
Auteur / Autrice : | Clémentine Lemarié--Rieusset |
Direction : | Frédéric Déglise, Adrien Dubouloz |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Mathématiques |
Date : | Soutenance le 15/09/2023 |
Etablissement(s) : | Bourgogne Franche-Comté |
Ecole(s) doctorale(s) : | École doctorale Carnot-Pasteur (Besançon ; Dijon ; 2012-....) |
Partenaire(s) de recherche : | Etablissement de préparation : Université de Bourgogne (1970-....) |
Laboratoire : Institut de Mathématiques de Bourgogne (IMB) (Dijon) | |
Jury : | Président / Présidente : Aravind Asok |
Examinateurs / Examinatrices : Yonatan Harpaz, Lucy Moser-Jauslin, Emmanuel Wagner | |
Rapporteurs / Rapporteuses : Aravind Asok, Oliver Röndigs |
Mots clés
Résumé
Dans ce manuscrit, nous créons une théorie en géométrie algébrique par analogie avec la théorie des nœuds. Étant donné que cette nouvelle théorie s'appuie sur la théorie de l'homotopie motivique (plus précisément, sur la théorie de l'intersection quadratique), nous la nommons théorie motivique des nœuds. Plus précisément, nous étudions l' enlacement motivique : comment deux F-sous-schémas fermés disjoints dans un F-schéma ambiant peuvent être enlacés (F étant un corps parfait). En théorie des nœuds, l'enlacement d'un entrelacs orienté à deux composantes (i.e. de deux nœuds orientés disjoints) est un entier qui compte combien de fois une des composantes tourne autour de l'autre composante. Nous définissons des analogues en géométrie algébrique des entrelacs orientés à deux composantes et de l'enlacement; nous appelons ces analogues de l'enlacement des enlacements quadratiques. Nos enlacements quadratiques ne sont pas nécessairement des entiers; ceux que nous étudions le plus sont des éléments du groupe de Witt du corps de base F, qui est un groupe de classes d'équivalence de formes bilinéaires symétriques sur F (ou de manière équivalente, de formes quadratiques sur F, quand la caractéristique de F est différente de 2). Dans un premier temps nous répondons aux questions qui émergent naturellement de ces enlacements quadratiques et dans un second temps nous créons des méthodes de calcul des enlacements quadratiques. Ces méthodes s'appuient sur des formules explicites pour les morphismes de résidus de la K-théorie de Milnor-Witt (qui permettent de calculer des morphismes de bord pour les complexes de Rost-Schmid) et pour le produit d'intersection de l'anneau de Rost-Schmid (et en particulier de l'anneau de Chow-Witt). Grâce à ces méthodes, nous calculons explicitement nos enlacements quadratiques sur des exemples. Certains de ces exemples sont inspirés de la théorie des nœuds, plus spécifiquement des entrelacs toriques (notamment les entrelacs de Hopf et de Salomon).