Base d'erreur, canal quantique, semigroupe de divers opérateurs positifs

Error basis, quantum channel and seimgroup of various positive operators

• Auteur / Autrice : Purbayan Chakraborty
• Direction : Uwe Franz
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 08/09/2023
• Etablissement(s) : Bourgogne Franche-Comté
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Carnot-Pasteur (Besançon ; Dijon ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques de Besançon (Besançon) - Laboratoire de Mathématiques de Besançon / LMB
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement de préparation : Université de Franche-Comté (1971-....)
• Jury : Président / Présidente : B. V. Rajarama Bhat
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jean-Christophe Bourin, Frédéric Holweck
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Michael Schürmann, Ion Nechita

Mots clés

Mots clés contrôlés

Algèbres d'opérateurs

Théorie de l'information quantique

Mots clés libres

Opérateur positif

Canal quantique

Information quantique

Semigroupe d'opérateurs k-Positifs

Base d'erreur

Semigroupe d'une applications k-Positive

Positive operators

Quantum information

Quantum channel

Semigroup of positive operators

Nice error basis

Semigroup of k-Positive maps

Résumé

Dans les trois premiers chapitres de cette thèse, nous discutons des notions existantes de différentes positivités d'une application linéaire entre des algèbres de matrices, par exemple la k-positivité, la positivité complète ou le canal quantique, la k-superpositivité, etc., l'idée d'un état quantique séparable et intriqué, la base d'erreur unitaire quantique et leurs constructions, etc. Comme ces différentes applications positives forment des cônes convexes fermés, nous discutons en détail de la relation entre les différents cônes positifs et leurs duals. Nous parlons aussi brièvement des interprétations physiques de ces objets mathématiques du point de vue de l'information quantique et de la dynamique d'un système quantique ouvert.Dans les deux derniers chapitres, nous présentons nos résultats sur le sujet. Nous essayons de caractériser différentes applications positives en utilisant une base appropriée de l'espace des applications linéaires entre les algèbres de matrices. Les opérateurs de Weyl donnent une base pratique de l'algèbre des matrices qui est également orthonormée par rapport au produit scalaire de Hilbert-Schmidt.Les propriétés d'une telle base peuvent être généralisées à la notion de "nice error basis" (NEB), telle qu'introduite par E. Knill. Nous pouvons utiliser une NEB de l'algèbre des matrices pour construire une NEB pour l'espace des applications linéaires entre algèbres de matrices. Toute application linéaire correspondra alors à une matrice de coefficient dans la décomposition de la base par rapport à cette base. La positivité, la (co)positivité complète ou d'autres propriétés d'une application linéaire peuvent être caractérisées en termes de cette matrice de coefficients. Enfin, nous caractériserons le semigroupe à un paramètre de différentes applications positives en fonction de ses générateurs. Nous prouvons une correspondance de type Schoenberg pour les semigroupes non-unitaires qui généralise un résultat analogue pour les semigroupes unitaires prouvé par Michael Schürmann. Elle caractérise les générateurs des semigroupes de applications linéaires sur l'algèbre des matrices qui sont k-positifs, k-superpositifs, ou k-rupture d'enchevêtrement. En corollaire, nous réprouvons le théorème de Lindblad, Gorini, Kossakowski et Sudarshan. Nous présentons quelques exemples concrets de semigroupes d'opérateurs et étudions comment leurs propriétés de positivité peuvent s'améliorer avec le temps.

In the first three chapters of this thesis we discuss the existing notions of different positivity of a linear map between matrix algebras e.g. k-positivity, complete positivity or quantum channel, k-super positivity etc., the idea of separable and entangled quantum state, quantum unitary error basis and their constructions etc. As these different positive maps form closed convex cone we discuss the relation between different positive cones, and their duals in detail. We also briefly talk about the physical interpretations of these mathematical objects from the perspective of quantum information and dynamics of open quantum system.In the last two chapters , we present our results on the topic. We try to characterise different positive maps using a suitable basis of the space of linear maps between matrix algebras. The Weyl operators give a convenient basis of matrix algebra which is also orthonormal with respect to the Hilbert-Schmidt inner product.The properties of such a basis can be generalised to the notion of a nice error basis(NEB), as introduced by E. Knill. We can use an NEB of matrix algebra to construct an NEB for the space of linear maps between matrix algebras. Any linear map will then correspond to a coefficient matrix in the basis decomposition with respect to such basis. Positivity, complete (co)positivity or other properties of a linear map can be characterised in terms of such coefficient matrix. Finally we will characterise the one parameter semigroup of different positive maps in terms of its generators. We prove a Schoenberg-type correspondence for non-unital semigroups which generalises an analogous result for unital semigroup proved by Michael Schürmann. It characterises the generators of semigroups of linear maps on matrix algebra which are k-positive, k-superpositive, or k-entanglement breaking. As a corollary we reprove Lindblad, Gorini, Kossakowski, Sudarshan's theorem. We present some concrete examples of semigroup of operators and study how their positivity properties can improve with time.