Paraproduits de martingale et applications à l'analyse harmonique classique et non commutative

Martingale paraproducts and applications to classical and noncommutative harmonic analysis

• Auteur / Autrice : Hao Zhang
• Direction : Quanhua Xu
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 06/06/2023
• Etablissement(s) : Bourgogne Franche-Comté
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Carnot-Pasteur
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques de Besançon (Besançon) - Laboratoire de Mathématiques de Besançon / LMB
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement de préparation : Université de Franche-Comté (1971-....)
• Jury : Président / Présidente : Christian Le Merdy
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Éric Ricard, Gilles Lancien
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Aline Bonami, Sandra Pott

Mots clés

Mots clés contrôlés

Matrices

Produits tensoriels

Mots clés libres

Paraproduits de martingale

Martingales noncommutatives

Classe de Schatten

Commutateurs

Espaces de BMO

Espaces de Hardy-Orlicz

Espaces de Musielak- Orlicz

Produit tensoriel

Classe de Schatten

Algèbre de CAR

Algèbres matricielles

Commutateurs

Opérateurs intégraux singuliers

Espaces de BMO

Martingale paraproducts

Noncommutative martingales

Schatten class

Commutators

BMO spaces

Hardy-Orlicz spaces

Musielak-Orlicz spaces

Doubling spaces

Martingale Besov spaces

Tensor product

Schatten class

CAR algebra

Matrix algebras

Singular integral operators

BMO spaces

Résumé

Cette thèse a pour l’étude des paraproduits de martingales à la fois dans le cadre commutatif et noncommutatif. Il se compose de deux parties. La première concerne la décomposition bilinéaire de la multiplication ponctuelle d’éléments dans l’espace de Hardy de martingales H1 et son dual BMO. Nous étendons également cette décomposition bilinéaire continue aux espaces de Hardy de martingales Hp (0 < p < 1) et leurs espaces duaux. Nos décompositions sont basées sur des paraproduits de martingales. Comme conséquences de notre travail, nous obtenons des résultats analogues pour des martingales dyadiques sur des espaces de type homogène munis d’une mesure de dédoublement. Nos arguments reposent sur l’existence de systèmes dyadiques sur des espaces de type homogène. La deuxième partie porte principalement sur l’appartenance à la classe de Schatten des paraproduits de martingales semi-commutatifs et purement non commutatifs, en particulier pour les algèbres de Clifford et les produits tensoriels d’algèbres matricielles1k=1Md en termes d’espaces de Besov de martingales. En utilisant la technique de la martingale dyadique de Hytönen, nous obtenons également des conditions suffisantes pour l’appartenance à la classe de Schatten et la bornitude des commutateurs à valeurs d’opérateurs concernant des opérateurs intégraux singuliers généraux. De plus, nous donnons une preuve alternative sur la caractérisation BMO de la bornitude des commutateurs concernant des opérateurs intégraux singuliers généraux dans le cadre commutatif.

This thesis is devoted to the study of martingale paraproducts both in the commutative and semicommutative settings. It consists of two parts. The first part is about the bilinear decomposition of pointwise multiplication of elements in martingale Hardy space H^1 and its dual BMO space. We also extend this continuous bilinear decomposition to martingale Hardy spaces H^p (0<p<1) and their dual spaces. Our decompositions are based on martingale paraproducts. As a consequence of our work, we obtain analogous results for dyadic martingales on spaces of homogeneous type equipped with a doubling measure. Our arguments are based on the existence of dyadic systems on spaces of homogeneous type. The second part is mainly on the Schatten class membership of semicommutative and purely noncommutative martingale paraproducts, especially for CAR algebras and tensor product of matrix algebras mathop{otimes}limits_{k=1}^{infty}mathbb{M}_{d} in terms of martingale Besov spaces. Using Hyt"{o}nen's dyadic martingale technique, we also obtain sufficient conditions on the Schatten class membership and the boundedness of operator-valued commutators involving general singular integral operators. In addition, we give a new proof of the boundedness of commutators still involving general singular integral operators concerning BMO spaces in the commutative setting.