Lois de réciprocité explicites pour les modules de Drinfeld formels

Explicit reciprocity laws for formal Drinfeld modules

• Auteur / Autrice : Marwa Ala Eddine
• Direction : Hassan Oukhaba
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 04/04/2023
• Etablissement(s) : Bourgogne Franche-Comté
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Carnot-Pasteur
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement de préparation : Université de Franche-Comté (1971-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques de Besançon / LMB
• Jury : Président / Présidente : Bouchaïb Sodaïgui
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Christine Huyghe
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Denis Benois, Bruno Anglès

Mots clés

Mots clés contrôlés

Corps de classe

Mots clés libres

Modules de Drinfeld formels

Corps locaux

Lois de réciprocité

Formal Drinfeld modules

Local fields

Reciprocity laws

Résumé

Nous considérons l'accouplement de Kummer dans le cas des modules de Drinfeld formels ayant une réduction stable d'hauteur un, definis sur des corps locaux à caractéristique positive, dans le but de trouver des lois de réciprocité explicites dans la viene de celles qui existent en caractéristique nulle. Dans un premier temps, nous considérons une classe spéciale des ces modules de Drinfeld et nous nous inspirons de l'approche de Wiles pour démontrer des formules explicites dans ce cas. Enfin, nous démontrons le cas général en s'insprirant des travaux de Kolyvagin. Les résultats présentés dans cette thèse viennent compléter les résultats de Anglès et de Longhi-Bars, qui ont démontré des formules explicites dans le cas des modules de Drinfeld formels issues respectivement des polynomes de Carlitz et des modules de Drinfeld sign-normalisés de rang un.

We prove explicit reciprocity laws for formal Drinfeld modules defined over local fields of positive characteristic and having stable reduction of height one, in the spirit of those existing in characteristic zero. At first request, we consider a special class of these formal Drinfeld modules and we prove explicit formulas for the Kummer pairing following an approach inspired by Wiles. In a later request, we give an explicit description of the pairing à la Kolyvagin in the general case. The results obtained give a generalization of the results of Anglès and Longhi-Bars proved for formal Drinfeld modules obtained respectively from Carlitz polynomials and sign-normalized Drinfeld modules of rank one.